Maths

Notes sur les bases de l'algèbre

Sommaire

Sources

Opérations sur les relatifs

Définitions

Symbole Nom Définition
Entiers naturels
Natural numbers
Tous les nombres entiers positifs (dont 0) : ℕ = {0,1,2,…,n,…}
Entiers relatifs
Integers
Entiers naturels et leurs opposés : ℤ = {…,-n,-2,-1,0,1,2,…,n,…}
D Décimaux Toute suite décimale finie : 14,0 ou 1,52. Pas 0,33333 car suite non finie.
Rationnels
Rational
Ensemble des fractions positives et négatives
Réels
Real
Ensemble de tous les nombres et suites décimales limitées ou illimitées positives ou négatives

Axiomes

http://web.comhem.se/bengtmnxy/math/basicalg/basalg_e.htm

a + b = b + a Commutativité de l'addition
a * b = b * a Commutativité de la multiplication
(a + b) + c = a + (b + c) Associativité de l'addition
(a * b) * c = a * (b * c) Associativité de la multiplication
a * (b + c) = (a * b) + (a * c) Distributivité (avec + et -)
a * (b - c) = (a * b) - (a * c)
a + 0 = a Le nombre 0
a + (-a) = 0 Nombre opposé
a * 1 = a Le nombre 1
a * (1/a) = 1 Nombre inverse

Soustraction

Définition : a - b = a + (-b)

Division

Définition : a/b = a * 1/b = a * b-1

Démonstration : a/b = (a/b) * 1 = (a/b) * (b * 1/b) = a * (1/b)

Exemple : 7/3 = 7 * 1/1 * 3 = 7 * 1/3

Démonstrations

Théorème Démonstration
-(-a) = a -(-a) = -(-a) + (-a) + a = 0 + a = a
a - a = 0 a - a = a + (-a) = 0
-a + b = b - a -a + b = b + (-a) = b - a
-(a + b) = -a - b -(a + b) = -(a + b) + 0 + 0 = 0 + 0 - (a + b) = a - a + b - b - (a + b) = (a + b) - (a + b) - a - b = 0 - a - b = -a - b + 0 = -a - b
a + (b - c) = a + b - c a + (b - c) = (b - c) + a = b - c + a = a + b - c
a + b + c = c + a + b a + b + c = (a + b) + c = c + (a + b) = (c + a) + b = c + a + b
a + b - c = b - c + a = -c + a + b a + b - c = (a + b) - c = -c + (a + b) = -c + a + b = b + (-c) + a = (b + (-c)) + a = (b - c) + a = b - c + a
a - (b - c) = a - b + c a - (b - c) = a + (-(b + (-c))) = a + (-b - (-c)) = a + (-(-c) - b) = a + (c - b) = a + c - b = a - b + c
abc = cab abc = (ab)c = c(ab) = (ca)b = cab
a·0 = 0 a·0 = a·0 + ab + (-ab) = a·(0 + b) + (-ab) = a·b + (-ab) = 0
a·(-b) = -ab a·(-b) = a·(-b) + ab + (-ab) = a·(-b + b) + (-ab) = a·0 + (-ab) = 0 + (-ab) = -ab
(-a)·(-b) = ab (-a)·(-b) = -(-a)b = -(b·(-a)) = -(-ba) = ba = ab
(1/a)·(1/b) = 1/(ab) (1/a)·(1/b) = 1·(1/a)·(1/b) = ab·1/(ab)·(1/a)·(1/b) = (a·(1/a))·(b·(1/b))·1/(ab) = 1/(ab)
Si ab = 0 alors a = 0 or b = 0 Avec a différent de 0 :b = 1·b = a·(1/a)·b = ab·(1/a) = 0·(1/a) = 0
(a/b)·(c/d) = (ac)/(bd) (a/b)·(c/d) = a·(1/b)·c·(1/d) = (ac)·(1/(bd)) = (ac)/(bd)
a/b + c/b = (a + c)/b a/b + c/b = a·(1/b) + c·(1/b) = (a + c)·(1/b) = (a + c)/b
a·(b - c) = ab - ac a·(b - c) = a·(b + (-c)) = a·b + a·(-c) = ab + (-ac) = ab - ac
a/b - c/b = (a - c)/b a/b - c/b = a·(1/b) - c·(1/b) = (a - c)·(1/b) = (a - c)/b
(ac)/(bc) = a/b (ac)/(bc) = ac·(1/(bc)) = ac·(1/b)·(1/c) = a·(1/b)·c·(1/c) = (a/b)·1 = a/b
a/1 = a a/1 = a·(1/1) = a·(1·(1/1)) = a·1 = a
(ab)/b = a (ab)/b = (ab)/(1·b) = a/1 = a
a·(b/c) = (ab)/c a·(b/c) = (a/1)·(b/c) = (ab)/(1·c) = (ab)/c
(a/b)/(c/d) = (a/b)·(d/c) (a/b)/(c/d) = ((a/b)bd)/((c/d)bd) = (((ad)b)/b)/(((cb)d)/d) = (ad)/(cb) = (ad)/(bc) = (a/b)·(d/c)
a/(b/c) = (ac)/b a/(b/c) = (a/1)/(b/c) = (a/1)·(c/b) = (ac)/(1·b) = (ac)/b
(a/b)/c = a/(bc) (a/b)/c = (a/b)/(c/1) = (a/b)·(1/c) = (a·1)/(bc) = a/(bc)
1/(a/b) = b/a 1/(a/b) = (1·b)/a = b/a
1/(1/a) = a 1/(1/a) = a/1 = 1

Fractions et rationnels ℚ

A/B => on parle de quotient de A par B.

Comparaison d'une fraction à l'entier 1

Si A > B alors A/B > 1.

On parle de fraction irrégulière quand le numérateur est supérieur au dénominateur.

Nombre fractionnaire (Nombre mixte - Mixed number)

C'est la somme d'un entier et d'une fraction :

11/5 = 1 + 1/5

Inverse d'une fraction

L'inverse d'un nombre A non nul est la fraction 1/A.

a et b (non nuls) sont inverses l'un de l'autre si leur produit vaut 1.

Multiple d'un nombre

On appelle multiple d'un nombre les résultats de sa table de multiplication.

Multiples de 8 = 0, 8, 16, 32, 40, 48…

Addition ou soustraction de fractions

Si on multiplie (ou si on divise) le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre non nul, alors on obtient une fraction égale.

Pour l'addition ou la soustraction de fractions, il faut qu'elles aient le même dénominateur, on les réduit au même dénominateur commun.

Le dénominateur commun est un multiple commun des dénominateurs de chaque fraction.

Multiplication de fractions

On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, puis on simplifie le résultat si possible.

Simplification d'une fraction

On décompose chacun des facteurs en un produit de nombres premiers et on simplifie.

Quotient de deux fractions

On multiplie la première fraction par l'inverse de la seconde.

Soit :

Q = A/B / C/D

Alors :

Q = A/B * D/C

Fractions divisées ou le principe renversant

Comprendre la division d'une fraction par une autre

Signe d'une fraction

Parce qu'un négatif divisé par un positif est négatif et un positif divisé par un négatif est négatif, un signe négatif dans une fraction peut aller où vous le voulez :

négatif/positif = positif/négatif = - positif/positif

-2/3 = 3/-2 = - 3/2

PGCD (plus grand commun diviseur)

Le PGCD de a et b est le plus grand nombre avec lequel on peut diviser a et b.

Méthode : décomposer chaque terme en produits de nombres premiers, puis garder les facteurs premiers communs qui apparaissent dans chaque décomposition affectées du plus petit exposant.

24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 2^3 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 2^2 · 3^2

PGCD = 2^2 · 3 = 12

Autre méthode : algorithme d'Euclide.

PPCM (plus petit commun multiplicateur)

Le PPCM est le plus petit nombre qui est en même temps multiple de a et de b.

Méthode : décomposer chaque terme en produits de nombres premiers, puis conserver tous les facteurs premiers qui apparaissent affectées du plus grand exposant.

 5 = 5
15 = 5 · 3
20 = 5 · 2 · 2

PPCM = 5 · 2^2 · 3 = 1500

Le PPCM est utile pour trouver le plus petit commun dénominateur de plusieurs fractions.


Puissances

Propriétés

Propriété Exemple
a0 = 1 Par convention
a1 = a Par convention
an·am = an + m 23·24 = (2·2·2)(2·2·2·2) = 27
(an)m = anm (53)2 = (5·5·5)2 = (5·5·5)(5·5·5) = 56
an/am = an - m 34/32 = 3·3·3·3/3·3 = 32
(ab)n = an·bn (4𝒙)3 = (4𝒙)(4𝒙)(4𝒙) = (4·4·4)(𝒙·𝒙·𝒙) = 43𝒙3 = 64𝒙3
a-1 = 1/a (𝒙/𝒚)-1 = 1/𝒙/𝒚 = 1 ÷ 𝒙/𝒚 = 1·𝒚/𝒙 = 𝒚/𝒙
a-n = 1/an 1/an = (1/a)n = (a-1)n = a-n
an = 1/a-n
(a/b)n = an/bn (2/5)3 = 2/5·2/5·2/5 = 23/53

Exemple :

(𝒙/𝒚)-n = (𝒙/𝒚)(-1)(n) = [(𝒙/𝒚)-1]n = (𝒚/𝒙)n = 𝒚n/𝒙n

Inverse d'une puissance (puissance négative)

La puissance négative représente le nombre de décimales.

a-n = 1 / an

Comment justifier la définition des exposants négatifs

    1/a   1/a   1/a   1/a   1/a    Diviser par a
de droite à gauche
  a-2   a-1   a0   a1   a2   a3  
Multiplier par a
de gauche à droite 
  * a   * a   * a   * a   * a    

Signe d'une puissance d'un nombre négatif

Une puissance d'un nombre négatif dont l'exposant est pair est un nombre positif.

Une puissance d'un nombre négatif dont l'exposant est impair est un nombre négatif.

Attention aux parenthèses :

(-2)3 : le signe - est répété 3 fois

-23 : le signe - n'est pas répété

Puissances de 10

Notation scientifique sous forme de multiples de puissance de 10 :

120 = 1,2.102

0,03 = 3.10-2 : on compte également le zéro avant la virgule

Exemple

5120 / 400 = 1024 * 5 / 16 * 25 = 210 * 5 / 24 * 52 = 210 - 4 * 51 - 2 = 26 * 5-1 = 26 / 51 = 64 / 5


Racines carrées

Voir l'explication visuelle de la racine carrée avec les nombres figurés :

Pourquoi la racine carrée s'appelle racine carrée ?

La racine carrée d'un nombre B est égale à un nombre b qui, si on l'élève au carré donnera B.

b2 = B et √B = b

32 = 9 et √9 = 3

Le signe est un radical.

Propriétés

Propriété Exemple
√0 = 0 Par convention
√1 = 1 Par convention
ab = √a·√b 64 = √4·16 = √4·√16 = 2·4 = 8
a/b = √a/√b 4/9 = √4/√9 = 2/3
√an = (√a)n = a (√5)2 = 5
√a * √a = a
√a = a1/2 car (a1/2)2 = a 𝒙10 = √𝒙2·√𝒙2·√𝒙2·√𝒙2·√𝒙2 = √𝒙5

Somme des racines

Une racine avec des radicaux similaires se factorise :

5√3 + 4√3 - 7√3 = (5 + 4 - 7)√3 = 2√3

Quantité conjuguée

Identité remarquable :

(√a + √b)(√a - √b) = (√a)2 - (√b)2 = a - b

Par convention, on ne laisse pas de radical au dénominateur d'une fraction. La quantité conjuguée peut être utile pour simplifier une fraction faisant intervenir des racines carrées.

Racine cubique

A = ∛a = a1/3 avec A3 = a

Puissances fractionnaires

ap/n = (ap)1/n = (a1/n)p = (n√a)p

(ab)p/n = ap/nbp/n


Unités usuelles, figures de base

Unités de base

Nom Préfixe Puissance de 10 Opération sur la base
téra T 1012
giga G 109 base * 1 milliard
méga M 106 base * 1 million
kilo k 103 base * 1000
hecto h 102 base * 100
déca da 101 base * 10
Unité   100 base = 1
deci d 10-1 base / 10
centi c 10-2 base / 100
milli m 10-3 base / 1000
micro µ 10-6 base / 1 million
nano n 10-9 base / 1 milliard
pico p 10-12
femto f 10-15

Conversions avec les puissances de 10

Astuces pour les conversions d'unités

Préfixe vers base

Revenir à la base en multipliant par la puissance de dix associée au préfixe. Exemple, convertir 3,7 mV en V :

3,7 mV = 3,7 * 10-3 V (10-3 est la puissance de m)

Base vers préfixe

Revenir à la base en divisant par la puissance de dix associée au préfixe, ce qui revient à multiplier par la puissance de dix opposée au symbole manquant (c.f. Quotient de deux fractions). Exemple, convertir 6,5 W en MW :

6,5 W = 6,5 * 10-6 MW (10-6 est la puissance opposée de M)

Préfixe vers autre préfixe

Revient à supprimer un préfixe (retour à la base), puis en rajouter un (avec sa puissance opposée). Exemple, convertir 3,5 hg en mg :

Conversion d'unités avec des puissances

Convertir avec les puissances de 10

Convertir 212 cm3 en m3 :

Périmètres et surfaces des figures géométriques de base

Carré

Rectangle

Triangle

Trapèze

Cercle


Factorisation

La factorisation est l'inverse de la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition : a·(b + c) = a·b + a·c. C'est passer de a·b + a·c à a·(b + c).

Signes

Un signe - devant une parenthèse change le signe de tous les termes à l'intérieur des parenthèses :

Distribuer des quantités négatives a le même effet, tous les signes changent :

􏰀-8(4 + 5𝒙) = -32 - 40x

Peut être utile pour trouver des facteurs communs :

Factoriser en combinant les termes identiques

Les termes identiques ont les mêmes variables et les exposants de ces variables sont les mêmes :

16𝒙-4 + 3𝒙-2 - 4𝒙 + 9𝒙-4 - 𝒙-2 + 5𝒙 - 6 = 25𝒙-4 + 2𝒙-2 + 𝒙 - 6

Factoriser une quantité

Pour factoriser une quantité pour 2 ou plusieurs termes :

  1. décider de la quantité de chaque terme à factoriser
  2. écrire chaque terme comme un produit de cette quantité (optionnel)
  3. appliquer la propriété de distributivité à l'envers

4 + 6𝒙 = (2 · 2) + (2 · 3𝒙) = 2(2 + 3𝒙)

4𝒙2 + 4𝒙 = 4𝒙(𝒙 + 1)

Factoriser en groupant

Par exemple, 3 est factorisé pour les deux premiers termes, et 𝒙 pour les deux derniers :

3𝒙2 - 3 + 𝒙3 - 𝒙 = 3(𝒙2 - 1) + 𝒙(𝒙2 - 1) = (3 + 𝒙)(𝒙2 - 1)

Développement, méthode FOIL

FOIL :

(𝒙 + 4)(2𝒙 - 1) = 2𝒙2 - 𝒙 + 8𝒙 -4 = 2𝒙2 + 7𝒙 - 4

Factoriser un polynôme quadratique (de degré 2)

Objectif : faire l'inverse de la méthode FOIL.

Ce sont les polynômes du type : a𝒙2 + b𝒙 + c

Le but est de passer de : 𝒙2 + 5𝒙 + 6 à (𝒙 + 2)(𝒙 + 3)

Quand le premier terme est 𝒙2

Les polynômes de degré 2 dont le premier terme est 𝒙2 sont (souvent) les plus faciles à factoriser, leur factorisation commence toujours par (𝒙 ± _)(𝒙 ± _).

Règles pour les polynômes "simples" à factoriser :

- en 2ème signe = signes des facteurs différents 𝒙2 - 4𝒙 - 5 (𝒙 - _)(𝒙 + _) ou (𝒙 + _)(𝒙 - _)
𝒙2 + 𝒙 - 12 (𝒙 + _)(𝒙 - _) ou (𝒙 - _)(𝒙 + _)
+ en 2ème signe = signes des facteurs identiques - si - en 1er signe 𝒙2 - 6 + 8 (𝒙 - _)(𝒙 - _)
+ si + en 1er signe 𝒙2 + 4𝒙 + 3 (𝒙 + _)(𝒙 + _)

Raccourci de factorisation quand le premier terme est 𝒙2 :

Différence de deux carrés 𝒙2 - c2

Peut être considéré comme : 𝒙2 - c2 = 𝒙2 + 0𝒙 - c2

Si le polynôme a le signe -, il peut être factorisé facilement et les facteurs de c2 doivent avoir une différence de 0, ce qui peut seulment se produire pour c et c (la racine) :

𝒙2 - 4 = (𝒙 + 2)(𝒙 - 2)

Si le polynôme a le signe +, il ne peut pas être factorisé facilement.

La différence de deux carrés peut prendre la forme : 𝒙n - cnn est pair. Dans ce cas là : 𝒙n - cn = (𝒙n/2 - cn/2)(𝒙n/2 + cn/2)

Quand le premier terme n'est pas 𝒙2

Essayer de revenir à un polynôme commençant par 𝒙2 en factorisant son coefficient :

4𝒙2 + 28𝒙 + 48 = 4(𝒙2 + 7𝒙 + 12) = 4(𝒙 + 4)(𝒙 + 3)

Expression avec puissance double

Une expression avec 3 termes dont la puissance du premier terme est le double de la puissance du second terme et le troisième terme est une constante peut se factoriser de la même façon qu'un polynôme quadratique :

𝒙4 - 2𝒙2 - 3 = (𝒙2 - 3)(𝒙2 + 1)

La puissance utilisée dans la factorisation est celle du terme du milieu.


Polynômes

Monôme et polynôme

Un monôme désigne une expression algébrique ne comportant qu'un seul terme : 3𝒙2 ; -4𝒙3

Constitué :

Un polynôme est une fonction constituée de la somme de plusieurs monômes : f(𝒙) = 𝒙2 − 2𝒙 + 1

Degré d'un polynôme

Le degré d'un polynôme correspond à sa plus haute puissance.

Égalité de deux polynômes

Deux polynômes sont égaux si :

Racine d'un polynôme

Pour P(𝒙) = 3(𝒙 - 1), 1 est la racine car P(𝒙) s'annule en 𝒙 = 1.

Un polynôme peut avoir plusieurs racines, P(𝒙) = 𝒙2 - 4 s'annule en 𝒙 = 2 et 𝒙 = -2.

Si P(𝒙) est un polynôme s'annulant en 𝒙0, alors on peut mettre (𝒙 - 𝒙0) en facteur :

𝒙2 - 𝒙 - 6 = (𝒙 - 3)(𝒙 + 2) (3 est une racine évidente)

Identités remarquables

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

a2 - b2 = (a - b)(a + b)

a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

(a + b)3 = a3 + 2a2b + 2ab2 + b3


Fonctions linéaires et affines, proportionnalité, pourcentage

Fonctions linéaires et affines

Proportionnalité

a, b, c et d sont dit proportionnels si a/b = c/d.

Produit en croix

http://www.educastream.com/proportionnalite-produit-croix-4eme

Si a/b = c/d, alors a·d = c·b.

Démonstration :

Passage par l'unité

La règle de trois

S'il faut 6 oeufs pour 8 personnes, il en faut 8 fois moins pour 1 personne, soit 6/8. Pour 12 personnes, il en faudra 12 fois plus, soit 12 * 6/8 = 9.

Pourcentage

Calcul

Calculer un pourcentage revient à remplir un tableau de proportionnalité.

Sur 55 personnes, 22 sont des femmes. Quel est le pourcentage de femmes ?

Nombre de femmes 22 𝒙
Total 55 100

Avec le produit en croix : 22·100 = 𝒙·55 d'où 𝒙 = 22·100/55 = 40.

Application

Prendre n% d'une quantité, c'est multiplier cette quantité par n/100.

Agrandissement et réduction

Lorsqu'une quantité est augmentée de n%, elle est multipliée par (1 + n/100)

Lorsqu'une quantité est diminuée de n%, elle est multipliée par (1 - n/100)

En effet, lorsqu'une quantité 𝒙 est augmentée de n%, l'augmentation s'élève à 𝒙·n/100, soit 𝒙 + (𝒙·n/100) qui se factorise en 𝒙·(1 + n/100).

Taux d'évolution

L’évolution en pourcentage d’une grandeur est égale à :

((valeur finale - valeur initiale) / valeur initiale) * 100

Un produit passant de 64 à 72 euros subit une hausse de 12,5 %:

((72 - 64) / 64) * 100 = 12.5 %

Équations

Équations à une inconnue de degré 1

Pour résoudre une équation, des opérations sur les deux membres de l'égalité sont nécessaires. Le but est d'isoler l'inconnue. Une égalité se comporte comme une balance, on doit effectuer la même opération de chaque côté pour la conserver :

𝒙 + a = b équivalent à 𝒙 = b - a
𝒙 - a = b équivalent à 𝒙 = b + a
a·𝒙 = b équivalent à 𝒙 = b/a
𝒙/a = b équivalent à 𝒙 = a·b

Exemples de résolutions :

Système de deux équations à deux inconnues réelles de degré 1

Exemple de système :

Le résoudre c'est trouver les couples (𝒙, 𝒚) qui sont simultanément solutions des deux équations.

Résolution par substitution

Utilisée si on peut exprimer facilement une inconnue en fonction de l'autre :

  1. Soit le système :
    • 𝒙 + 2𝒚 = 5
    • 2𝒙 - 3𝒚 = 3
  2. la première équation peut s'écrire : 𝒙 = 5 - 2𝒚
  3. remplacer 𝒙 par 5 - 2𝒚 dans la deuxième équation

Résolution par addition

Utilisée si une des inconnues a des coefficients opposés dans les deux équation :

  1. Soit le système :
    • 2𝒙 + 3𝒚 = 7
    • 𝒙 - 3𝒚 = 2
  2. on remarque que dans les deux équations les 𝒚 ont des coefficients opposés
  3. en additionnant les deux équations, les 𝒚 vont disparaître
  4. 2𝒙 + 3𝒚 + (𝒙 - 3𝒚) = 7 + 2

Résolution par combinaisons linéaires

Le but est de se ramener à une résolution par addition en cherchant à obtenir des coefficients opposés pour les 𝒙 ou les 𝒚 :

  1. Soit le système :
    • 2𝒙 + 3𝒚 = 7
    • -3𝒙 + 4𝒚 = -2
  2. On multiplie la première équation par 3 et la deuxième par 2
    • 6𝒙 + 9𝒚 = 21
    • -6𝒙 + 8𝒚 = -4
  3. On revient à une résolution par addition

Résolution par le déterminant

Pour savoir si un système a une solution :

a𝒙 + b𝒚 = c
a'𝒙 + b'𝒚 = c'

On trouve le déterminant avec : a·b' - b·a'

Si le déterminant n'est pas nul, le système a une solution unique.

Si le déterminant est nul :

Équations de degré 2

Équations carrées type 𝒙2 = a

Équations du second degré

Du type : a𝒙2 + b𝒙 + c = 0

On appelle discriminant du trinôme du second degré a𝒙2 + b𝒙 + c la quantité b2 - 4ac notée Δ (delta).

L'existence de solutions à une équation du second degré dépend du signe de ce discriminant.


Inéquations réelles

Signe

Deux nombres sont rangés dans l'ordre inverse de leurs opposés : si a < b alors -a > -b.

En conséquence, si on multiplie ou on divise les membres d'une inégalité par un même nombre négatif, alors l'inégalité change de sens.

Inéquations de degré 2

Pour résoudre une inéquation du second degré il faut étudier le signe du polynôme. Selon le résultat de son discriminant Δ, le polynôme a𝒙2 + b𝒙 + c aura ou non des racines et on pourra étudier son signe :


Statistiques

Rassembler des données pour les exploiter.

Caractère

L'objet étudié est appelé caractère (âge, poids, températures, populations etc.)

Effectifs

L'effectif est le nombre de fois où une valeur du caractère apparaît.

L'effectif global est le nombre total de caractères.

Exemple pour les notes de 25 candidats (effectif global) à un examen :

Notes 3 7 8 9 10 11 12 13 15 16 18
Effectifs 1 2 5 5 1 2 3 2 2 1 1

La donnée d'une série de caractères et de leurs effectifs s'appelle une série statistique.

Effectifs cumulés

L'effectifs cumulé s'obtient en ajoutant les effectifs de toutes les valeurs inférieures ou égales à celle de référence :

Notes 3 7 8 9 10 11 12 13 15 16 18
Effectifs 1 2 5 5 1 2 3 2 2 1 1
Effectifs cumulés (croissants) 1 3 8 13 14 16 19 21 23 24 25

Fréquences

La fréquence est le quotient de l'effectif par l'effectif global :

fréquence = effectif/effectif global

Les fréquences sont des nombres compris entre 0 et 1 et peut être donnée en pourcentage :

fréquence en % = effectif/effectif total * 100

Moyenne

La moyenne d'une série statistique est le quotient de la somme de toutes les valeurs du caractère par l'effectif total :

moyenne = ∑ valeur * effectif correspondant/effectif total

Moyenne pondérée

Elle se calcule avec des coefficients qui donnent plus ou moins de poids aux valeurs :

moyenne pondérée = ∑ valeur * coefficient/∑ coefficients

Médiane

La médiane d'une série statistique est la valeur du caractère qui partage la population de cette série en deux parties d'effectifs égaux :

Représentation graphique