Rappels d'arithmétique et d'algèbre

L'arithmétique est la science des nombres. C'est l'une des principales branches des mathématiques.

L'algèbre est la théorie générale des opérations et permet de travailler avec des quantités connues ou inconnues.

Ces deux branches s'entremêlent rapidement.

Numération et base 10

La numération permet de rendre sensible la notion abstraite de nombre.

Dans la vie de tous les jours, on utilise la base 10 (ou système décimal) :

\[\begin{align} 372 &= 300 + 70 + 2 \\ &= 3 · 10^2 + 7 · 10 + 3 \\ \end{align}\]

Un entier \( z = a · 10^3 + b · 10^2 + c · 10^1 + d · 10^0 \) est abrégé \( abcd \).

Chiffres et nombres

En base 10, on a dix symboles nommés "chiffres" : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

Ils permettent de représenter des nombres comprenant un ou plusieurs chiffres :

1165 est un nombre à quatre chiffres.

Dix chiffres suffisent pour écrire une infinité de nombres.

Ensembles de nombres

Les nombres forment un ensemble classé en différents sous-ensembles :

Symbole Nom Définition Origine probable des lettres
\( \mathbb{N} \) Entiers naturels
Natural numbers
Les nombres entiers positifs (0 inclus) \( \mathbb{N} \) pour Naturale (naturel en italien)
Peano
\( \mathbb{Z} \) Entiers relatifs
Integers
Les nombres entiers positifs ou négatifs
Raccourci pour "relatif à ℤéro"
\( \mathbb{Z} \) pour Zahl (nombre en allemand)
Dedekind
\( \mathbb{D} \) Décimaux Tout nombre avec une suite décimale finie (car ils peuvent s'écrire sous forme d'un quotient entre un relatif et une puissance de 10) Groupe Bourbaki
\( \mathbb{Q} \) Rationnels
Rational
Ensemble des fractions positives ou négatives
Rationnels, du latin Ratio qui signifie rapport
\( \mathbb{Q} \) pour quotiente (quotient en italien)
Peano
\( \mathbb{R} \) Réels
Real
Les rationnels et les irrationnels : tous les nombres qui existent, même s'ils ne peuvent pas s'écrire avec des chiffres
Le nom "Réels" décrit leur capacité à décrire le monde (longueur, surface, volume, durée d'un phénomène…)
\( \mathbb{R} \) pour Real (réel en allemand)
Cantor

Notes :

Chaque ensemble appartient à l'ensemble suivant (relation d'inclusion) :

\[ \fbox{$ \mathbb{N} \in \mathbb{Z} \in \mathbb{D} \in \mathbb{Q} \in \mathbb{R} $} \]

Moyen mnémotechnique pour se souvenir de l'ordre : ℕeℤ Du ℚ ℝé (nez du curé).

Opérations de base

Les opérations de base sont :

La division

Complémentarité

L'addition et la soustraction sont deux opérations complémentaires. De même que la multiplication et la division.

Lois de l'arithmétique des entiers

Les opérations de base sont gouvernées par des lois :

Loi Définition Explication
\( {\color{ForestGreen}a + b = b + a} \) Commutativité de l'addition Les termes peuvent être commutés ou interchangés, sans modification du résultat de l'opération
\( {\color{ForestGreen}ab = ba} \) Commutativité de la multiplication
\( {\color{RubineRed}a + (b + c) = (a + b) + c} \) Associativité de l'addition Les termes peuvent être associés ou groupés de différentes façons, sans modification du résultat de l'opération
\( {\color{RubineRed}a(bc) = (ab)c} \) Associativité de la multiplication
\( {\color{NavyBlue}a(b + c) = ab + ac} \) Distributivité de la multiplication sur l'addition ou la soustraction La distributivité de la multiplication sur l'addition (ou la soustraction) est une opération qui permet de passer d'un produit de sommes (ou de différences) à une somme (ou une différence) de produits

Un modèle visuel concret aide à comprendre sur quelles bases intuitives reposent ces lois :

En manipulant mentalement le schéma ci-dessus, on peut facilement comprendre pourquoi la multiplication des naturels est commutative : peu importe l'ordre des facteurs, il y conservation du produit.

Les axiomes de Peano permettent de démontrer plus formellement ces lois.

Définition d'un axiome :

Vérité indémontrable mais évidente pour quiconque en comprend le sens (principe premier), et considérée comme universelle.

Égalités

Les égalités figurent parmi les notions communes d'Euclide :

En d'autres termes :

\[ \fbox{$ a = b \quad \textrm{est équivalent à} \quad a + x = b + x $} \]

\[ \fbox{$ a = b \quad \textrm{est équivalent à} \quad a - x = b - x $} \]

\[ \fbox{$ a = b \quad \textrm{est équivalent à} \quad a \times x = b \times x $} \]

\[ \fbox{$ a = b \quad \textrm{est équivalent à} \quad a \div x = b \div x $} \]

Ces axiomes seront utiles dans les résolutions d'équations.

Priorité des opérations

La priorité des opérations est une convention qui donne l'ordre dans lequel effectuer les calculs d'une chaine d'opérations :

  1. les parenthèses
  2. les exposants
  3. les multiplications et les divisions (de la gauche vers la droite)
  4. les additions et les soustractions (de la gauche vers la droite)

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