Rappels d'arithmétique et d'algèbre
L'arithmétique est la science des nombres. C'est l'une des principales branches des mathématiques.
L'algèbre est la théorie générale des opérations et permet de travailler avec des quantités connues ou inconnues.
Ces deux branches s'entremêlent rapidement.
Numération et base 10
La numération est un système qui permet d'écrire et de nommer les nombre. Elle rend sensible la notion abstraite de nombre.
Dans la vie de tous les jours, on utilise la base 10 (ou système décimal) :
\[\begin{align} 372 &= 300 + 70 + 2 \\ &= 3 · 10^2 + 7 · 10 + 3 \\ \end{align}\]
Un entier \( z = a · 10^3 + b · 10^2 + c · 10^1 + d · 10^0 \) est abrégé \( abcd \).
Chiffres et nombres
En base 10, on a dix symboles nommés "chiffres" : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
Ils permettent de représenter des nombres comprenant un ou plusieurs chiffres :
1165 est un nombre à quatre chiffres.
Dix chiffres suffisent pour écrire une infinité de nombres.
Ensembles de nombres
Les nombres forment un ensemble classé en différents sous-ensembles :
| Symbole | Nom | Définition | Origine probable des lettres |
|---|---|---|---|
| \( \mathbb{N} \) | Entiers naturels Natural numbers |
Les nombres entiers positifs (0 inclus) | \( \mathbb{N} \) pour Naturale (naturel en italien) Peano |
| \( \mathbb{Z} \) | Entiers relatifs Integers |
Les nombres entiers positifs ou négatifs
Raccourci pour "relatif à ℤéro" |
\( \mathbb{Z} \) pour Zahl (nombre en allemand) Dedekind |
| \( \mathbb{D} \) | Décimaux | Tout nombre avec une suite décimale finie (car ils peuvent s'écrire sous forme d'un quotient entre un relatif et une puissance de 10) | Groupe Bourbaki |
| \( \mathbb{Q} \) | Rationnels Rational |
Ensemble des fractions positives ou négatives
Rationnels, du latin Ratio qui signifie rapport |
\( \mathbb{Q} \) pour quotiente (quotient en italien) Peano |
| \( \mathbb{R} \) | Réels Real |
Les rationnels et les irrationnels : tous les nombres qui existent, même s'ils ne peuvent pas s'écrire avec des chiffres
Le nom "Réels" décrit leur capacité à décrire le monde (longueur, surface, volume, durée d'un phénomène…) |
\( \mathbb{R} \) pour Real (réel en allemand) Cantor |
Notes :
- l'ensemble des décimaux \( \mathbb{D} \) n'est pas enseigné chez les anglo-saxons
- les rationnels et les irrationnels ne contiennent aucun élément commun, mais, ensemble, ils forment l'ensemble des nombres réels
- voir le PDF "Ensembles de nombres" pour une analyse poussée
Chaque ensemble appartient à l'ensemble suivant (relation d'inclusion) :
\[ \fbox{$ \mathbb{N} \in \mathbb{Z} \in \mathbb{D} \in \mathbb{Q} \in \mathbb{R} $} \]
Moyen mnémotechnique pour se souvenir de l'ordre : ℕeℤ Du ℚ ℝé (nez du curé).
Opérations de base
Les opérations de base sont :
- l'addition, ou la réunion de deux quantités
- la soustraction, ou l'exclusion d'une quantité d'une autre
- la multiplication, ou le fait de prendre un certain nombre de fois une quantité
- la division, ou la fabrication de parts égales
La division
Complémentarité
L'addition et la soustraction sont deux opérations complémentaires.
De même que la multiplication et la division.
Lois de l'arithmétique des entiers
Les opérations de base sont gouvernées par des lois :
| Loi | Définition | Explication |
|---|---|---|
| \( {\color{ForestGreen}a + b = b + a} \) | Commutativité de l'addition | Les termes peuvent être commutés ou interchangés, sans modification du résultat de l'opération |
| \( {\color{ForestGreen}ab = ba} \) | Commutativité de la multiplication | |
| \( {\color{RubineRed}a + (b + c) = (a + b) + c} \) | Associativité de l'addition | Les termes peuvent être associés ou groupés de différentes façons, sans modification du résultat de l'opération |
| \( {\color{RubineRed}a(bc) = (ab)c} \) | Associativité de la multiplication | |
| \( {\color{NavyBlue}a(b + c) = ab + ac} \) | Distributivité de la multiplication sur l'addition ou la soustraction | La distributivité de la multiplication sur l'addition (ou la soustraction) est une opération qui permet de passer d'un produit de sommes (ou de différences) à une somme (ou une différence) de produits |
Un modèle visuel concret aide à comprendre sur quelles bases intuitives reposent ces lois :
En manipulant mentalement le schéma ci-dessus, on peut facilement comprendre pourquoi la multiplication des naturels est commutative : peu importe l'ordre des facteurs, il y conservation du produit.
Les axiomes de Peano permettent de démontrer plus formellement ces lois.
Définition d'un axiome :
Vérité indémontrable mais évidente pour quiconque en comprend le sens (principe premier), et considérée comme universelle.
Égalités
Les égalités figurent parmi les notions communes d'Euclide :
- si l'on ajoute des grandeurs égales à des grandeurs égales, les touts demeurent égaux
- si l'on retranche des grandeurs égales à des grandeurs égales, les restes demeurent égaux
- des grandeurs qui sont doubles d'une même grandeur sont égales entre elles
- des grandeurs qui sont les moitiés d'une même grandeur sont égales entre elles
En d'autres termes :
\[ \fbox{$ a = b \quad \textrm{est équivalent à} \quad a + x = b + x $} \]
\[ \fbox{$ a = b \quad \textrm{est équivalent à} \quad a - x = b - x $} \]
\[ \fbox{$ a = b \quad \textrm{est équivalent à} \quad a \times x = b \times x $} \]
\[ \fbox{$ a = b \quad \textrm{est équivalent à} \quad a \div x = b \div x $} \]
Ces axiomes seront utiles dans les résolutions d'équations.
Priorité des opérations
La priorité des opérations est une convention qui donne l'ordre dans lequel effectuer les calculs d'une chaine d'opérations :
- les parenthèses
- les exposants
- les multiplications et les divisions (de la gauche vers la droite)
- les additions et les soustractions (de la gauche vers la droite)
Joint