Rappels d'arithmétique et d'algèbre

L'arithmétique est la science des nombres. C'est l'une des principales branches des mathématiques.

L'algèbre est la théorie générale des opérations et permet de travailler avec des quantités connues ou inconnues.

Ces deux branches s'entremêlent rapidement.

Numération et base 10

La numération est un système qui permet :

• d'écrire les nombres
• de nommer les nombres
• de rendre sensible la notion abstraite de nombre

Dans la vie de tous les jours, on utilise la base 10 (ou système décimal) :

\[\begin{align} 372 &= 300 + 70 + 2 \\ &= 3 · 10^2 + 7 · 10 + 3 \\ \end{align}\]

Un entier \( z = a · 10^3 + b · 10^2 + c · 10^1 + d · 10^0 \) est abrégé \( abcd \).

Chiffres et nombres

En base 10, on a dix symboles nommés "chiffres" : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

Ils permettent de représenter des nombres comprenant un ou plusieurs chiffres :

1165 est un nombre à quatre chiffres.

Dix chiffres suffisent pour écrire une infinité de nombres.

Ensembles de nombres

Les nombres forment un ensemble classé en différents sous-ensembles :

Symbole	Nom	Définition	Origine probable des lettres
\( \mathbb{N} \)	Entiers naturels Natural numbers	Les nombres entiers positifs (0 inclus)	\( \mathbb{N} \) pour Naturale (naturel en italien) Peano
\( \mathbb{Z} \)	Entiers relatifs Integers	Les nombres entiers positifs ou négatifs Raccourci pour "relatif à ℤéro"	\( \mathbb{Z} \) pour Zahl (nombre en allemand) Dedekind
\( \mathbb{D} \)	Décimaux	Tout nombre avec une suite 𝔻écimale finie Car ils peuvent s'écrire sous forme d'un quotient entre un relatif et une puissance de 10	Groupe Bourbaki
\( \mathbb{Q} \)	Rationnels Rational	Ensemble des fractions positives ou négatives Rationnels, du latin Ratio qui signifie rapport Un nombre est rationnel si et seulement si sa partie décimale possède un motif qui se répète indéfiniment	\( \mathbb{Q} \) pour quotiente (quotient en italien) Peano
\( \mathbb{R} \)	Réels Real	Rationnels + irrationnels : tous les nombres qui existent, même s'ils ne peuvent pas s'écrire avec des chiffres Les rationnels et les irrationnels ne contiennent aucun élément commun, mais, ensemble, ils forment l'ensemble des nombres ℝéels Le nom "Réels" décrit leur capacité à décrire le monde (longueur, surface, volume, durée d'un phénomène…)	\( \mathbb{R} \) pour Real (réel en allemand) Cantor

Notes :

• l'ensemble des décimaux \( \mathbb{D} \) n'est pas enseigné chez les anglo-saxons
• voir le PDF "Ensembles de nombres" pour une analyse poussée

Chaque ensemble appartient à l'ensemble suivant (relation d'inclusion) :

\[ \fbox{$ \mathbb{N} \in \mathbb{Z} \in \mathbb{D} \in \mathbb{Q} \in \mathbb{R} $} \]

Moyen mnémotechnique pour se souvenir de l'ordre : ℕeℤ Du ℚ ℝé (nez du curé).

Opérations de base

Les opérations de base sont :

• l'addition, ou la réunion de deux quantités
• la soustraction, ou l'exclusion d'une quantité d'une autre
• la multiplication, ou le fait de prendre un certain nombre de fois une quantité
• la division, ou la fabrication de parts égales

La division

Complémentarité

L'addition et la soustraction sont deux opérations complémentaires.

De même que la multiplication et la division.

Lois de l'arithmétique des entiers

Les opérations de base sont gouvernées par des lois :

Loi	Définition	Explication
\( {\color{ForestGreen}a + b = b + a} \)	Commutativité de l'addition	Les termes peuvent être commutés ou interchangés, sans modification du résultat de l'opération
\( {\color{ForestGreen}ab = ba} \)	Commutativité de la multiplication
\( {\color{RubineRed}a + (b + c) = (a + b) + c} \)	Associativité de l'addition	Les termes peuvent être associés ou groupés de différentes façons, sans modification du résultat de l'opération
\( {\color{RubineRed}a(bc) = (ab)c} \)	Associativité de la multiplication
\( {\color{NavyBlue}a(b + c) = ab + ac} \)	Distributivité de la multiplication sur l'addition ou la soustraction	La distributivité de la multiplication sur l'addition (ou la soustraction) est une opération qui permet de passer d'un produit de sommes (ou de différences) à une somme (ou une différence) de produits

Un modèle visuel concret aide à comprendre sur quelles bases intuitives reposent ces lois :

En manipulant mentalement le schéma ci-dessus, on peut facilement comprendre pourquoi la multiplication des naturels est commutative : peu importe l'ordre des facteurs, il y conservation du produit.

Les axiomes de Peano permettent de démontrer plus formellement ces lois.

Définition d'un axiome :

Vérité indémontrable mais évidente pour quiconque en comprend le sens (principe premier), et considérée comme universelle.

Égalités

Les égalités figurent parmi les notions communes d'Euclide :

• si l'on ajoute des grandeurs égales à des grandeurs égales, les touts demeurent égaux
• si l'on retranche des grandeurs égales à des grandeurs égales, les restes demeurent égaux
• des grandeurs qui sont doubles d'une même grandeur sont égales entre elles
• des grandeurs qui sont les moitiés d'une même grandeur sont égales entre elles

En d'autres termes :

\[ \fbox{$ a = b \quad \textrm{est équivalent à} \quad a + x = b + x $} \]

\[ \fbox{$ a = b \quad \textrm{est équivalent à} \quad a - x = b - x $} \]

\[ \fbox{$ a = b \quad \textrm{est équivalent à} \quad a \times x = b \times x $} \]

\[ \fbox{$ a = b \quad \textrm{est équivalent à} \quad a \div x = b \div x $} \]

Ces axiomes seront utiles dans les résolutions d'équations.

Priorité des opérations

La priorité des opérations est une convention qui donne l'ordre dans lequel effectuer les calculs d'une chaine d'opérations :

1. les parenthèses
2. les exposants
3. les multiplications et les divisions (de la gauche vers la droite)
4. les additions et les soustractions (de la gauche vers la droite)