Astuces de calcul mental
Inspiré par :
Addition
Addition en se rapprochant de la dizaine
Les calculs sont plus simples en manipulant des dizaines.
Trouver le complément à 10, l'ajouter d'un côté (pour obtenir une dizaine) et le retrancher de l'autre (pour que la somme ne change pas) :
\[\begin{align} 69 + 84 &= (69 + 1) + (84 - 1) \\ &= 70 + 83 \\ &= 153 \\ \end{align}\]
Soustraction
Soustraction par l'addition
L'addition et la soustraction sont des opérations complémentaires :
- l'addition est plus simple que la soustraction
- penser "\( x \) plus combien donne le résultat \( y \) ?"
- ajouter des dizaines, centaines, milliers est simple
\[\begin{align} 523 - 261 &= {\color{RubineRed}\text{?}} \\ \\ \text{Penser : 261 plus combien donne le résultat 523 ?} \\ 261 + {\color{ForestGreen}100} &= 361 \\ 361 + {\color{ForestGreen}100} &= 461 \\ 461 + {\color{ForestGreen}60} &= 521 \\ 521 + {\color{ForestGreen}2} &= 523 \\ \\ {\color{ForestGreen}100 + 100 + 60 + 2} &= {\color{RubineRed}262} \\ \end{align}\]
Soustraction en se rapprochant de la dizaine
Équilibre de la soustraction : quand on ajoute le même nombre aux deux termes d'une soustraction, la différence ne change pas.
Trouver le complément à 10 et l'ajouter des deux côtés :
\[\begin{align} 79 - 37 &= (79 + 1) - (37 + 1) \\ &= 80 - 38 \\ &= 42 \\ \end{align}\]
Soustraction par décomposition
Décomposer le nombre à soustraire en dizaines et en unités :
- Exemple
- \( 110 - 44 \)
- Décomposer 44 en dizaines et en unités
- \( 44 = {\color{ForestGreen}40 + 4} \)
- Soustraire les dizaines
- \( 110 - {\color{ForestGreen}40} = 70 \)
- Soustraire les unités
- \( 70 - {\color{ForestGreen}4} = {\color{RubineRed}66} \)
Soustraction par l'addition par rapport à une base
Ajouter entre elles des distances par rapport à une même base :
- Exemple
- \( 345 - 284 \)
- 345 c'est 45 au dessus de la base 300
- \( 45 \)
- 284 c'est 16 en dessous de la base 300
- \( 16 \)
- Ajouter les deux distances
- \( 45 + 16 = 61 \)
Multiplication
Multiplier en découpant
La loi de la distributivité de la multiplication permet de découper :
\[\begin{align} 14 \times 33 &= 14 \times (30 + 3) \\ &= (14 \times 30) + (14 \times 3) \\ &= 420 + 42 \\ &= 462 \\ \end{align}\]
En calcul mental, la distributivité est très pratique.
Multiplier par 5
Voir \( 5 \) comme une fraction : \( 5 = \frac{10}{2} \).
Donc pour multiplier par \( 5 \), on peut soit :
- multiplier par \( 10 \) puis diviser par \( 2 \)
- diviser par \( 2 \) puis multiplier par \( 10 \)
Multiplier par 11
On peut se dire que multiplier par 11, c'est comme multiplier 10 en ajoutant une fois le nombre.
Ou bien utiliser la méthode Trachtenberg de la multiplication par 11 :
- Exemple
- \( 34 \times 11 \)
- Écrire les deux chiffres du nombre avec un espace
- \( 3 \thinspace \thinspace 4 \)
- Additionner les deux chiffres
- \( 3 + 4 = 7 \)
- Placer la somme entre les deux chiffres
- \( 374 \)
Voir aussi la multiplication par 111.
Multiplier un nombre à deux chiffres par 101
\( x \times 101 = (x \times 100) + x \)
Écire le multiplicande deux fois : \( 26 \times 101 = 2626 \)
Élever au carré un nombre se terminant par 5
- Exemple
- \( 65^2 \)
- Multiplier le chiffre des dizaines par le nombre entier le suivant immédiatement
- \( 6 \times 7 = {\color{RubineRed}42} \)
- Placer 25 à la droite du résultat
- \( 65^2 = {\color{RubineRed}42}{\color{ForestGreen}25} \)
Multiplier par 15
\( 15 = 10 + 5 \), donc :
- Multiplier le nombre par 10
- Trouver la moitié du produit précédent
- Ajouter cette moitié au premier produit
Multiplier des nombres se terminant par un demi
Un produit de deux facteurs est invariant (ne change pas de valeur) si l'un des facteurs est multiplié pendant que l'autre facteur est divisé par le même nombre :
- Exemple
- \( 12 \times 4,5 \)
- Multiplier le nombre se terminant par un demi par 2
- \( 4,5 \times 2 = {\color{RubineRed}9} \)
- Diviser par 2 l'autre facteur
- \( 12 \div 2 = {\color{ForestGreen}6} \)
- Multiplier les deux résultats
- \( {\color{ForestGreen}6} \times {\color{RubineRed}9} = 54 \)
Multiplier par 75
\( 75 = \frac{3}{4} \times 100 \), donc :
- Multiplier le nombre par 3
- Diviser le produit par 4
- Multiplier le quotient par 100
- Exemple
- \( 75 \times 60 \)
- Multiplier le nombre par 3
- \( 60 \times 3 = {\color{RubineRed}180} \)
- Diviser le produit par 4
- \( {\color{RubineRed}180} \div 4 = {\color{ForestGreen}45} \)
- Multiplier le quotient par 100
- \( {\color{ForestGreen}45} \times 100 = 4500 \)
Division
Diviser par 5
\( \frac{x}{5} = \frac{x}{\frac{10}{2}} = x \times \frac{2}{10} \), donc :
- multiplier par 2
- diviser le produit par 10
- Exemple
- \( 78 \div 5 \)
- Doubler le nombre
- \( 78 \times 2 = {\color{RubineRed}156} \)
- Diviser par 10
- \( {\color{RubineRed}156} \div 10 = 15,6 \)
Diviser des nombres se terminant par un demi
Multiplier le numérateur et le dénominateur par 2, le rapport reste égal.
\( \frac{26}{6,5} = \frac{26 \times 2}{6,5 \times 2} = \frac{52}{13} = 4 \)
Diviser un nombre qui contient des décimales
Reposer la division sans les décimales :
\( \frac{8,1}{0,9} = \frac{8,1 \times 10}{0,9 \times 10} = \frac{81}{9} = 9 \)
Diviser par 75
\( \frac{x}{75} = \frac{x}{100 \times \frac{3}{4} } = x \times \frac{1}{100} \times \frac{4}{3} \), donc :
- diviser par 100
- multiplier par 4
- diviser par 3
Diviser quand le nombre à diviser est supérieur à la centaine
\( \frac{118}{4} = \frac{100}{4} + \frac{18}{4} = 25 + 4,5 = 29,5 \)
Diviser quand le nombre à diviser est inférieur à la centaine
\( \frac{96}{4} = \frac{100}{4} - \frac{4}{4} = 25 - 1 = 24 \)
Joint