Équations

Une équation est une égalité de deux membres dont l'un au moins contient une grandeur inconnue.

Exemple d'équation : $ 3x + 7 = 1 $

le premier membre est $ 3x + 7 $
le second membre est $ 1 $
le nombre $ x $ s'appelle l'inconnue
résoudre l'équation revient à rechercher pour quelles valeurs de l'inconnue $ x $ l'égalité $ 3x + 7 = 1 $ est vérifiée

Équations du premier degré à une inconnue

On parle de premier degré car $ x $ a un exposant $ 1 $ implicite.

Pour résoudre une équation il faut isoler l'inconnue.

Pour cela, des opérations sur les deux membres de l'égalité sont nécessaires.

Une égalité se comporte comme une balance : on doit effectuer la même opération de chaque côté pour la conserver (voir la partie égalités).

Premier exemple :

\[\begin{align} x + 5 &= 4 \\ x + 5 \thinspace {\color{RubineRed}- \thinspace 5} &= 4 \thinspace {\color{RubineRed}- \thinspace 5} \\ x &= -1 \\ \end{align}\]

Second exemple avec $ a $, $ b $ et $ c $ des nombres connus :

\[\begin{align} ax + b &= c \\ ax + b \thinspace {\color{RubineRed}- \thinspace b} &= c \thinspace {\color{RubineRed}- \thinspace b} \\ ax &= c - b \\ \frac{a \times x}{{\color{RubineRed}a}} &= \frac{c - b}{{\color{RubineRed}a}} \\ x &= \frac{c - b}{a} \\ \end{align}\]

Principe de balance en accéléré :

Équation	Équivalent à
$ x + a = b $	$ x = b - a $
$ x - a = b $	$ x = b + a $
$ a \times x = b $	$ x = \frac{b}{a} $
$ \frac{x}{a} = b $	$ x = b \times a $

Exemples de résolutions :

Équation	Résolution
$ 2x + 5 = 4 $	isoler $ 2x $ et diviser les membres de la nouvelle égalité par $ 2 $
$ \frac{3x + 7}{6} = 4 $	éliminer le dénominateur en multipliant les deux membres par $ 6 $
$ \frac{-2x}{5} - \frac{1}{4} = \frac{3}{2} $	réduire tous les termes des deux membres au même dénominateur commun, puis multiplier les deux membres par le dénominateur commun pour le supprimer
$ 4x - 5 = 3x - 8 $	rassembler toutes les inconnues dans le même terme
$ \frac{3}{x} = \frac{5}{4} $	quand l'inconnue apparaît au dénominateur on peut utiliser le produit en croix : $ 5 \times x = 3 \times 4 $
$ (2x - 3)(x + 2) = 0 $	dans une équation produit, un produit de facteur est nul si un de ses facteurs est nul, l'équation admet 2 solutions
$ (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 $	on développe le premier terme qui est une identité remarquable pour constater qu'il y a une infinité de solutions $ x^2 + 4x + 4 = x^2 + 4x + 4 $

Système de deux équations du premier degré à deux inconnues

Exemple de système :

\[\begin{cases} 3x - 2y &= 4 \\ -x + 3y &= 1 \end{cases}\]

Le résoudre c'est trouver les couples $ (x, y) $ qui sont simultanément solutions des deux équations.

Il existe différentes méthodes de résolution.

Résolution par substitution

S'utilise quand on peut exprimer facilement une inconnue en fonction de l'autre :

soit le système : $\begin{cases} x + 2y &= 5 \\ 2x - 3y &= 3 \end{cases}$
on isole $ x $ dans la première équation : $ x = 5 - 2y $
on substitue $ x $ par $ 5 - 2y $ dans la deuxième équation

Résolution par addition

S'utilise quand une des inconnues a des coefficients opposés dans les deux équations :

soit le système : $\begin{cases} 2x + 3y &= 7 \\ x - 3y &= 2 \end{cases}$
on remarque que dans les deux équations les $ y $ ont des coefficients opposés
les $ y $ vont disparaître en additionnant les deux équations
$ 2x + 3y + (x - 3y) = 7 + 2 $

Résolution par combinaisons linéaires

Le but est de se ramener à une résolution par addition en cherchant à obtenir des coefficients opposés pour les $ x $ ou les $ y $ :

soit le système : $\begin{cases} 2x + 3y &= 7 \\ -3x + 4y &= -2 \end{cases}$
on multiplie la première équation par $ 3 $ et la seconde par $ 2 $ $\begin{cases} 6x + 9y &= 21 \\ -6x + 8y &= -4 \end{cases}$
on revient à une résolution par addition

Déterminant d'un système

Le déterminant permet de savoir si un système a une solution :

\[\begin{cases} ax + by &= c \\ a'x + b'y &= c' \end{cases}\]

On trouve le déterminant grâce aux quatre coefficients :

\[ \fbox{$ (a \times b') - (b \times a') $} \]

si le déterminant n'est pas nul, alors le système a une solution unique
si le déterminant est nul :
- soit le système peut se réduire à une seule équation (les équations sont multiples l'une de l'autre) et il a une infinité de solutions
- soit le système n'a pas de solution

Équations carrées

Les équations carrées sont du type $ x^2 = a $.

si $ a < 0 $, l'équation $ x^2 = a $ n'a pas de solution dans $ \mathbb{R} $
si $ a = 0 $, l'équation $ x^2 = a $ a une solution $ x = 0 $
si $ a > 0 $, l'équation $ x^2 = a $ a deux solutions $ \sqrt{a} $ et $ -\sqrt{a} $

Équations du second degré

Les équations du second degré sont du type $ ax^2 + bx + c = 0 $.

On parle de second degré car $ x $ a un exposant $ 2 $.

Pour résoudre une équation du second degré dans laquelle $ a \neq 0 $, on calcule ce qu'on appelle le discriminant noté $ \Delta $ (delta) :

\[ \fbox{$ \Delta = b^2 - 4ac $} \]

On cherche ensuite les solutions (ou racines) qui, si elles existent, sont égales à :

\[ \fbox{$ x1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} $} \]

Pour que $ \sqrt{\Delta} $ existe, il faut $ \Delta ≥ 0 $.

Par conséquent, l'existence de racines dépend du signe du discriminant :

si $ \Delta > 0 $, l'équation admet deux solutions appellées racines : $ x1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} $ et $ x2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} $
si $ \Delta = 0 $, l'équation admet une racine double : $ x = \frac{-b}{2a} $
si $ \Delta < 0 $, l'équation n'a pas de solution réelle

D'où vient le discriminant ?

Pour comprendre d'où vient le discriminant, il faut savoir que la plupart des polynômes du second degré peuvent s'écrire sous 3 formes :

développée (réduite et ordonnée)
factorisée
canonique

C'est la forme canonique qui permet de trouver le discriminant.

Pour trouver la forme canonique, on part de la forme développée :

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

L'objectif est de tenter de faire apparaître une identité remarquable en isolant $ x^2 $.

Pour ça, on commence par mettre $ a $ (non nul) en facteur commun :

\[ a({\color{RubineRed}x^2 + \frac{b}{a}x} + \frac{c}{a}) = 0 \]

On remarque que les deux monômes qui contiennent $ {\color{RubineRed}x} $ ressemblent au début du développement d'une identité remarquable :

\[ (a + b)^2 = {\color{RubineRed}a^2 + 2ab} + b^2 \]

On va donc essayer de trouver ce que vaut $ (a + b)^2 $ en connaissant $ {\color{RubineRed}x^2 + \frac{b}{a}x} $ :

$ a $ correspond à $ x $, on a donc : $ (x + b)^2 $
pour trouver $ b $
- $ b $ est le coefficient du terme en $ b $ multiplié par $ \frac{1}{2} $
- $ b = \frac{b}{a} \times \frac{1}{2} = \frac{b}{2a} $
- voir la technique de la complétion du carré et le "double produit" de la forme dévelopée
on obtient cette identité remarquable : $ {\color{NavyBlue}(x + \frac{b}{2a})^2} $

Si on développe cette identité remarquable :

\[\begin{align} {\color{NavyBlue}(x + \frac{b}{2a})^2} &= x^2 + 2(x \times \frac{b}{2a}) + (\frac{b}{2a})^2 \\ &= x^2 + \frac{\cancel{2}bx}{\cancel{2}a} + (\frac{b}{2a})^2 \\ &= {\color{RubineRed}x^2 + \frac{b}{a}x} + {\color{ForestGreen}(\frac{b}{2a})^2} \\ \end{align}\]

On retrouve bien $ {\color{RubineRed}x^2 + \frac{b}{a}x} $ mais on a aussi une partie supplémentaire : $ {\color{ForestGreen}(\frac{b}{2a})^2} $ qui n'existe pas dans $ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} $.

Pour intégrer cette partie supplémentaire dans notre forme factorisée initiale, on va ajouter une opération qui revient au même que d'ajouter $ 0 $ afin de conserver l'équilibre :

\[\begin{align} x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} &= x^2 + \frac{b}{a}x + {\color{ForestGreen}0} + \frac{c}{a} \\ &= {\color{RubineRed}x^2 + \frac{b}{a}x} + {\color{ForestGreen}(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2} + \frac{c}{a} \\ \end{align}\]

On retrouve $ x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 $ qui est la forme dévelopée de l'identité remarquable qu'on a mis en évidence juste avant. On utilise sa forme factorisée :

\[ a({\color{NavyBlue}(x + \frac{b}{2a})^2} {\color{RawSienna}- (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}}) = 0 \]

Il nous reste une partie qu'on va mettre au même dénominateur pour la simplifier :

\[\begin{align} {\color{RawSienna}- (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}} &= - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} \\ &= - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{4ac}{4a^2} \\ &= - \frac{b^2 + 4ac}{4a^2} \\ &= \frac{-(b^2 + 4ac)}{4a^2} \\ &= {\color{Fuchsia}- \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \\ \end{align}\]

Ce qui nous permet d'obtenir la forme canonique :

\[ a({\color{NavyBlue}(x + \frac{b}{2a})^2} \thinspace {\color{Fuchsia}- \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}) = 0 \]

On s'intéresse maintenant aux termes de la soustraction :

$ (x + \frac{b}{2a})^2 $ est un carré, donc positif
le dénominateur du deuxième terme $ 4a^2 $ est un carré, donc positif
le seul élément dont le signe est inconnu est le discriminant qu'on note : $ \Delta = b^2 - 4ac $

D'où viennent les racines ?

Si Delta est positif

Si $ \Delta > 0 $ alors $ \frac{\Delta}{4a^2} > 0 $ car $ 4a^2 > 0 $.

On peut considérer $ (x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{\Delta}{4a^2} $ comme une différence de deux carrés et se servir de la racine carrée de chaque côté :

\[\begin{align} (x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{\Delta}{4a^2} &= 0 \\ (x + \frac{b}{2a})^2 &= \frac{\Delta}{4a^2} \\ \sqrt{(x + \frac{b}{2a})^2} &= \sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}} \\ x + \frac{b}{2a} &= |\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}| \\ \end{align}\]

On arrive à deux cas :

$ x + \frac{b}{2a} = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \Leftrightarrow \fbox{$ x = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} $} $
$ x + \frac{b}{2a} = - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \Leftrightarrow \fbox{$ x = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} $} $

Si Delta est nul

Si $ \Delta = 0 $, alors $ \frac{\Delta}{4a^2} $ disparaît :

$ (x + \frac{b}{2a})^2 = 0 \Leftrightarrow x + \frac{b}{2a} = 0 \Leftrightarrow \fbox{$ x = -\frac{b}{2a} $} $

Si Delta est négatif

Dans $ (x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{\Delta}{4a^2} $ :

si $ \Delta < 0 $ ça veut dire que $ \frac{\Delta}{4a^2} $ est de signe négatif
or $ - \frac{\Delta}{4a^2} $ serait de signe positif à cause de la règle des signes (moins par moins donne plus)

On a toujours un nombre positif et le polynôme ne peut jamais s'annuler : il n'y a pas de solution.

Ressources sur le discriminant et les racines

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Équation	Équivalent à
\( x + a = b \)	\( x = b - a \)
\( x - a = b \)	\( x = b + a \)
\( a \times x = b \)	\( x = \frac{b}{a} \)
\( \frac{x}{a} = b \)	\( x = b \times a \)

Équation	Résolution
\( 2x + 5 = 4 \)	isoler \( 2x \) et diviser les membres de la nouvelle égalité par \( 2 \)
\( \frac{3x + 7}{6} = 4 \)	éliminer le dénominateur en multipliant les deux membres par \( 6 \)
\( \frac{-2x}{5} - \frac{1}{4} = \frac{3}{2} \)	réduire tous les termes des deux membres au même dénominateur commun, puis multiplier les deux membres par le dénominateur commun pour le supprimer
\( 4x - 5 = 3x - 8 \)	rassembler toutes les inconnues dans le même terme
\( \frac{3}{x} = \frac{5}{4} \)	quand l'inconnue apparaît au dénominateur on peut utiliser le produit en croix : \( 5 \times x = 3 \times 4 \)
\( (2x - 3)(x + 2) = 0 \)	dans une équation produit, un produit de facteur est nul si un de ses facteurs est nul, l'équation admet 2 solutions
\( (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 \)	on développe le premier terme qui est une identité remarquable pour constater qu'il y a une infinité de solutions \( x^2 + 4x + 4 = x^2 + 4x + 4 \)