Équations

Une équation est une égalité de deux membres dont l'un au moins contient une grandeur inconnue.

Exemple d'équation : \( 3x + 7 = 1 \)

Équations du premier degré à une inconnue

On parle de premier degré car \( x \) a un exposant \( 1 \) implicite.

Pour résoudre une équation il faut isoler l'inconnue.

Pour cela, des opérations sur les deux membres de l'égalité sont nécessaires.

Une égalité se comporte comme une balance : on doit effectuer la même opération de chaque côté pour la conserver.

Premier exemple :

\[\begin{align} x + 5 &= 4 \\ x + 5 \thinspace {\color{RubineRed}- \thinspace 5} &= 4 \thinspace {\color{RubineRed}- \thinspace 5} \\ x &= -1 \\ \end{align}\]

Second exemple avec \( a \), \( b \) et \( c \) des nombres connus :

\[\begin{align} ax + b &= c \\ ax + b \thinspace {\color{RubineRed}- \thinspace b} &= c \thinspace {\color{RubineRed}- \thinspace b} \\ ax &= c - b \\ \frac{a \times x}{{\color{RubineRed}a}} &= \frac{c - b}{{\color{RubineRed}a}} \\ x &= \frac{c - b}{a} \\ \end{align}\]

Principe de balance en accéléré :

Équation Équivalent à
\( x + a = b \) \( x = b - a \)
\( x - a = b \) \( x = b + a \)
\( a \times x = b \) \( x = \frac{b}{a} \)
\( \frac{x}{a} = b \) \( x = b \times a \)

Exemples de résolutions :

Équation Résolution
\( 2x + 5 = 4 \) isoler \( 2x \) et diviser les membres de la nouvelle égalité par \( 2 \)
\( \frac{3x + 7}{6} = 4 \) éliminer le dénominateur en multipliant les deux membres par \( 6 \)
\( \frac{-2x}{5} - \frac{1}{4} = \frac{3}{2} \) réduire tous les termes des deux membres au même dénominateur commun, puis multiplier les deux membres par le dénominateur commun pour le supprimer
\( 4x - 5 = 3x - 8 \) rassembler toutes les inconnues dans le même terme
\( \frac{3}{x} = \frac{5}{4} \) quand l'inconnue apparaît au dénominateur on peut utiliser le produit en croix : \( 5 \times x = 3 \times 4 \)
\( (2x - 3)(x + 2) = 0 \) dans une équation produit, un produit de facteur est nul si un de ses facteurs est nul, l'équation admet 2 solutions
\( (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 \) on développe le premier terme qui est une identité remarquable pour constater qu'il y a une infinité de solutions \( x^2 + 4x + 4 = x^2 + 4x + 4 \)

Système de deux équations du premier degré à deux inconnues

Exemple de système :

\[\begin{cases} 3x - 2y &= 4 \\ -x + 3y &= 1 \end{cases}\]

Le résoudre c'est trouver les couples \( (x, y) \) qui sont simultanément solutions des deux équations.

Il existe différentes méthodes de résolution.

Résolution par substitution

S'utilise quand on peut exprimer facilement une inconnue en fonction de l'autre :

  1. soit le système : \(\begin{cases} x + 2y &= 5 \\ 2x - 3y &= 3 \end{cases}\)
  2. on isole \( x \) dans la première équation : \( x = 5 - 2y \)
  3. on substitue \( x \) par \( 5 - 2y \) dans la deuxième équation

Résolution par addition

S'utilise quand une des inconnues a des coefficients opposés dans les deux équations :

  1. soit le système : \(\begin{cases} 2x + 3y &= 7 \\ x - 3y &= 2 \end{cases}\)
  2. on remarque que dans les deux équations les \( y \) ont des coefficients opposés
  3. en additionnant les deux équations, les \( y \) vont disparaître
  4. \( 2x + 3y + (x - 3y) = 7 + 2 \)

Résolution par combinaisons linéaires

Le but est de se ramener à une résolution par addition en cherchant à obtenir des coefficients opposés pour les \( x \) ou les \( y \) :

  1. soit le système : \(\begin{cases} 2x + 3y &= 7 \\ -3x + 4y &= -2 \end{cases}\)
  2. on multiplie la première équation par \( 3 \) et la seconde par \( 2 \) \(\begin{cases} 6x + 9y &= 21 \\ -6x + 8y &= -4 \end{cases}\)
  3. on revient à une résolution par addition

Résolution par le déterminant

S'utilise pour savoir si un système a une solution :

\[\begin{cases} ax + by &= c \\ a'x + b'y &= c' \end{cases}\]

On trouve le déterminant avec : \( (a \times b') - (b \times a') \)

Équations carrées

Les équations carrées sont du type \( x^2 = a \).

Équations du second degré

Les équations du second degré sont du type \( ax^2 + bx + c = 0 \).

On parle de second degré car \( x \) a un exposant \( 2 \).

Pour résoudre une équation du second degré dans laquelle \( a \neq 0 \), on calcule ce qu'on appelle le discriminant noté \( \Delta \) (delta) :

\[ \fbox{$ \Delta = b^2 - 4ac $} \]

On cherche ensuite les solutions (ou racines) qui, si elles existent, sont égales à :

\[ \fbox{$ x1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} $} \]

Pour que \( \sqrt{\Delta} \) existe, il faut \( \Delta ≥ 0 \).

Par conséquent, l'existence de racines dépend du signe du discriminant :

D'où vient le discriminant ?

Pour comprendre d'où vient le discriminant, il faut savoir que la plupart des polynômes du second degré peuvent s'écrire sous 3 formes :

  1. développée (réduite et ordonnée)
  2. factorisée
  3. canonique

La forme canonique permet de trouver le discriminant.

Pour trouver cette forme, on part de la forme développée :

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

L'objectif est de tenter de faire apparaître une identité remarquable en isolant \( x^2 \).

Pour ça, on commence par factoriser, et puisque \( a \) est non nul, on peut diviser par \( a \) :

\[ a(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}) = 0 \]

On remarque que les deux monômes qui contiennent \( x \), c'est à dire \( {\color{RubineRed}x^2 + \frac{b}{a}x} \), ressemblent à une partie d'identité remarquable dévelopée :

\[ (a + b)^2 = {\color{RubineRed}a^2 + 2ab} + b^2 \]

On va donc essayer de trouver ce que vaut \( (a + b)^2 \) en connaissant \( {\color{RubineRed}x^2 + \frac{b}{a}x} \) :

Si on développe cette identité remarquable :

\[\begin{align} {\color{NavyBlue}(x + \frac{b}{2a})^2} &= x^2 + 2(x \times \frac{b}{2a}) + (\frac{b}{2a})^2 \\ &= x^2 + \frac{\cancel{2}bx}{\cancel{2}a} + (\frac{b}{2a})^2 \\ &= {\color{RubineRed}x^2 + \frac{b}{a}x} + {\color{ForestGreen}(\frac{b}{2a})^2} \\ \end{align}\]

On retrouve bien \( {\color{RubineRed}x^2 + \frac{b}{a}x} \) mais on a aussi une partie supplémentaire : \( {\color{ForestGreen}(\frac{b}{2a})^2} \) qui n'existe pas dans \( x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} \).

Pour intégrer cette partie supplémentaire dans notre forme factorisée initiale, on va ajouter une opération qui revient au même que d'ajouter \( 0 \) afin de conserver l'équilibre :

\[\begin{align} x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} &= x^2 + \frac{b}{a}x + {\color{ForestGreen}0} + \frac{c}{a} \\ &= x^2 + \frac{b}{a}x + {\color{ForestGreen}(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2} + \frac{c}{a} \\ \end{align}\]

On retrouve \( x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 \) qui est la forme dévelopée de l'identité remarquable qu'on a mis en évidence juste avant. On utilise sa forme factorisée :

\[ a({\color{NavyBlue}(x + \frac{b}{2a})^2} {\color{RawSienna}- (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}}) = 0 \]

Il nous reste une partie qu'on va mettre au même dénominateur pour la simplifier :

\[\begin{align} {\color{RawSienna}- (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}} &= - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} \\ &= - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{4ac}{4a^2} \\ &= - \frac{b^2 + 4ac}{4a^2} \\ &= \frac{-(b^2 + 4ac)}{4a^2} \\ &= {\color{Fuchsia}- \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \\ \end{align}\]

Ce qui nous permet d'obtenir la forme canonique :

\[ a({\color{NavyBlue}(x + \frac{b}{2a})^2} \thinspace {\color{Fuchsia}- \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}) = 0 \]

On s'intéresse maintenant aux termes de la soustraction :

D'où viennent les racines ?

Si Delta est positif

Si \( \Delta > 0 \) alors \( \frac{\Delta}{4a^2} > 0 \) car \( 4a^2 > 0 \).

On peut considérer \( (x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{\Delta}{4a^2} \) comme une différence de deux carrés et se servir de la racine carrée de chaque côté :

\[\begin{align} (x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{\Delta}{4a^2} &= 0 \\ (x + \frac{b}{2a})^2 &= \frac{\Delta}{4a^2} \\ \sqrt{(x + \frac{b}{2a})^2} &= \sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}} \\ x + \frac{b}{2a} &= |\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}| \\ \end{align}\]

On arrive à deux cas :

  1. \( x + \frac{b}{2a} = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \Leftrightarrow \fbox{$ x = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} $} \)
  2. \( x + \frac{b}{2a} = - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \Leftrightarrow \fbox{$ x = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} $} \)

Si Delta est nul

Si \( \Delta = 0 \), alors \( \frac{\Delta}{4a^2} \) disparaît :

\( (x + \frac{b}{2a})^2 = 0 \Leftrightarrow x + \frac{b}{2a} = 0 \Leftrightarrow \fbox{$ x = -\frac{b}{2a} $} \)

Si Delta est négatif

Dans \( (x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{\Delta}{4a^2} \) :

On a toujours un nombre positif et le polynôme ne peut jamais s'annuler : il n'y a pas de solution.

Ressources sur le discriminant et les racines

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