Équations

Une équation est une égalité de deux membres dont l'un au moins contient une grandeur inconnue.

Dans l'équation $ 3x + 7 = 1 $ :

le premier membre est $ 3x + 7 $
le second membre est $ 1 $
le nombre $ x $ s'appelle l'inconnue

Résoudre cette équation revient à rechercher pour quelles valeurs de l'inconnue $ x $ l'égalité $ 3x + 7 = 1 $ est vérifiée.

Équations du premier degré

On parle de premier degré car $ x $ a une valeur d'exposant maximum de $ 1 $ (implicite).

Une inconnue

Pour résoudre ce type d'équation il faut isoler l'inconnue.

Pour cela, des opérations sur les deux membres de l'égalité sont nécessaires.

Plus précisément, il faut effectuer la même opération sur chaque membre car une égalité se comporte comme une balance dont il faut conserver l'équilibre (voir les égalités d'Euclide).

Premier exemple :

\[\begin{align} x + 5 &= 4 \\ x + 5 \thinspace {\color{RubineRed}- \thinspace 5} &= 4 \thinspace {\color{RubineRed}- \thinspace 5} \\ x &= -1 \\ \end{align}\]

Second exemple avec $ a $, $ b $ et $ c $ des nombres connus :

\[\begin{align} ax + b &= c \\ ax + b \thinspace {\color{RubineRed}- \thinspace b} &= c \thinspace {\color{RubineRed}- \thinspace b} \\ ax &= c - b \\ \frac{a \times x}{{\color{RubineRed}a}} &= \frac{c - b}{{\color{RubineRed}a}} \\ x &= \frac{c - b}{a} \\ \end{align}\]

Principe de balance en accéléré :

Équation	Équivalent à
$ x + a = b $	$ x = b - a $
$ x - a = b $	$ x = b + a $
$ a \times x = b $	$ x = \frac{b}{a} $
$ \frac{x}{a} = b $	$ x = b \times a $

Exemples de résolutions :

Équation	Résolution
$ 2x + 5 = 4 $	isoler $ 2x $ puis diviser les membres de la nouvelle égalité par $ 2 $
$ \frac{3x + 7}{6} = 4 $	éliminer le dénominateur en multipliant les deux membres par $ 6 $
$ \frac{-2x}{5} - \frac{1}{4} = \frac{3}{2} $	réduire tous les termes au même dénominateur commun puis multiplier les deux membres par le dénominateur commun pour le supprimer
$ 4x - 5 = 3x - 8 $	rassembler toutes les inconnues dans le même terme
$ \frac{3}{x} = \frac{5}{4} $	quand l'inconnue apparaît au dénominateur on peut utiliser le produit en croix $ 5 \times x = 3 \times 4 $
$ (2x - 3)(x + 2) = 0 $	dans une équation produit un produit de facteur est nul si un de ses facteurs est nul l'équation admet 2 solutions
$ (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 $	on développe le premier terme qui est une identité remarquable pour constater qu'il y a une infinité de solutions : $ x^2 + 4x + 4 = x^2 + 4x + 4 $ car les deux côtés sont égaux

Système à deux inconnues

Exemple de système :

\[\begin{cases} 3x - 2y &= 4 \\ -x + 3y &= 1 \end{cases}\]

Le résoudre c'est trouver les couples $ (x, y) $ qui sont simultanément solutions des deux équations.

Il existe différentes méthodes de résolution.

Résolution par substitution

S'utilise quand on peut exprimer facilement une inconnue en fonction de l'autre :

soit le système : $\begin{cases} x + 2y &= 5 \\ 2x - 3y &= 3 \end{cases}$
on isole $ x $ dans la première équation : $ x = 5 - 2y $
on substitue $ x $ par $ 5 - 2y $ dans la deuxième équation

Résolution par addition

S'utilise quand une des inconnues a des coefficients opposés dans les deux équations :

soit le système : $\begin{cases} 2x + 3y &= 7 \\ x - 3y &= 2 \end{cases}$
on remarque que dans les deux équations les $ y $ ont des coefficients opposés
les $ y $ vont disparaître en additionnant les deux équations
$ 2x + 3y + (x - 3y) = 7 + 2 $

Résolution par combinaison

S'utilise pour revenir à une méthode de résolution plus simple en manipulant les différentes lignes d'un système.

Par exemple pour revenir à une résolution par addition, on cherche à obtenir des coefficients opposés pour les $ x $ ou les $ y $ :

soit le système : $\begin{cases} 2x + 3y &= 7 \\ -3x + 4y &= -2 \end{cases}$
on multiplie la première équation par $ 3 $ et la seconde par $ 2 $ $\begin{cases} 6x + 9y &= 21 \\ -6x + 8y &= -4 \end{cases}$
on revient à une résolution par addition

Déterminant d'un système

Le déterminant permet de savoir si un système a une solution :

\[\begin{cases} ax + by &= c \\ a'x + b'y &= c' \end{cases}\]

On trouve le déterminant grâce aux quatre coefficients :

\[ \fbox{$ (a \times b') - (b \times a') $} \]

si le déterminant n'est pas nul :
- alors le système a une solution unique
si le déterminant est nul :
- soit le système peut se réduire à une seule équation (les équations sont multiples l'une de l'autre) et il a une infinité de solutions
- soit le système n'a pas de solution

Équations carrées

Les équations carrées sont du type $ x^2 = a $.

Si	Alors l'équation $ x^2 = a $
$ a < 0 $	n'a pas de solution dans $ \mathbb{R} $
$ a = 0 $	a une solution $ x = 0 $
$ a > 0 $	a deux solutions $ \sqrt{a} $ et $ -\sqrt{a} $

Équations du second degré

On parle de second degré car $ x $ a une valeur d'exposant maximum de $ 2 $.

Les équations du second degré sont du type $ ax^2 + bx + c = 0 $.

Pour résoudre une équation du second degré dans laquelle $ a \neq 0 $, on calcule le discriminant noté $ \Delta $ (delta) :

\[ \fbox{$ \Delta = b^2 - 4ac $} \]

On cherche ensuite les solutions (ou racines) qui, si elles existent, sont égales à :

\[ \fbox{$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} $} \]

Pour que $ \sqrt{\Delta} $ existe, il faut $ \Delta ≥ 0 $.

Par conséquent, l'existence de racines dépend du signe du discriminant :

Si	Alors l'équation $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ \Delta > 0 $	admet deux solutions appellées racines $ x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} $ $ x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} $
$ \Delta = 0 $	admet une racine double $ x = \frac{-b}{2a} $
$ \Delta < 0 $	n'a pas de solution réelle

D'où vient le discriminant ?

On part de la forme développée d'une équation du second degré dans laquelle $ a \neq 0 $ :

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

On met $ a $ en facteur commun :

\[ a({\color{RubineRed}x^2 + \frac{b}{a}x} + \frac{c}{a}) = 0 \]

On remarque que $ {\color{RubineRed}x^2 + \frac{b}{a}x} $ est similaire au début du développement d'une identité remarquable…

\[\begin{align} (A + B)^2 &= {\color{RubineRed}A^2 + 2AB} + B^2 \\ (A + B)^2 &= {\color{RubineRed}x^2 + \frac{b}{a}x} + B^2 \\ \end{align}\]

…on pose alors…

\[\begin{align} {\color{RubineRed}A} &= {\color{RubineRed}x} \\ {\color{RubineRed}2B} = {\color{RubineRed}\frac{b}{a}} \ &\Leftrightarrow \ B = \frac{b}{2a} \\ \end{align}\]

…et on obtient l'identité remarquable complète :

\[ {\color{NavyBlue}(x + \frac{b}{2a})^2} = {\color{RubineRed}x^2 + \frac{b}{a}x} + {\color{ForestGreen}(\frac{b}{2a})^2} \]

On remarque que $ {\color{ForestGreen}(\frac{b}{2a})^2} $ n'existe pas dans la forme factorisée initiale.

Pour l'y intégrer, on utilise une astuce permettant de conserver l'équilibre et qui revient au même que d'ajouter $ 0 $ :

\[\begin{align} a(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}) &= a(x^2 + \frac{b}{a}x + {\color{ForestGreen}0} + \frac{c}{a}) \\ &= a({\color{RubineRed}x^2 + \frac{b}{a}x} + {\color{ForestGreen}(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2} + \frac{c}{a}) \\ \end{align}\]

On remplace la première partie $ {\color{RubineRed}x^2 + \frac{b}{a}x} + {\color{ForestGreen}(\frac{b}{2a})^2} $ par sa forme factorisée :

\[ a({\color{NavyBlue}(x + \frac{b}{2a})^2} {\color{RawSienna}- (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}}) = 0 \]

On réduit la seconde partie au même dénominateur :

\[\begin{align} {\color{RawSienna}- (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}} &= - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} \\ &= - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{4ac}{4a^2} \\ &= - \frac{b^2 + 4ac}{4a^2} \\ &= \frac{-(b^2 + 4ac)}{4a^2} \\ &= {\color{Fuchsia}- \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \\ \end{align}\]

Et on obtient la forme canonique :

\[ a({\color{NavyBlue}(x + \frac{b}{2a})^2} \thinspace {\color{Fuchsia}- \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}) = 0 \]

On s'intéresse maintenant aux termes de la soustraction :

$ (x + \frac{b}{2a})^2 $ est un carré, donc positif
le dénominateur du deuxième terme $ 4a^2 $ est un carré, donc positif
le numérateur du deuxième terme est le seul élément dont le signe est inconnu :
- c'est le discriminant
- qu'on note : $ \fbox{$ \Delta = b^2 - 4ac $} $

D'où viennent les racines ?

Les racines viennent de la forme canonique.

Si Delta est positif

Si $ \Delta > 0 $ alors $ \frac{\Delta}{4a^2} > 0 $ car $ 4a^2 > 0 $.

On peut alors fait apparaître une équation carrée :

\[\begin{align} (x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{\Delta}{4a^2} &= 0 \\ (x + \frac{b}{2a})^2 &= \frac{\Delta}{4a^2} \\ \sqrt{(x + \frac{b}{2a})^2} &= \sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}} \\ x + \frac{b}{2a} &= |\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}| \\ \end{align}\]

On arrive à deux cas :

$ x + \frac{b}{2a} = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \quad \Leftrightarrow \quad \fbox{$ x = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} $} $
$ x + \frac{b}{2a} = - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \quad \Leftrightarrow \quad \fbox{$ x = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} $} $

Si Delta est nul

Si $ \Delta = 0 $, alors $ \frac{\Delta}{4a^2} $ disparaît :

\[\begin{align} (x + \frac{b}{2a})^2 = 0 \\ x + \frac{b}{2a} = 0 \\ \fbox{$ x = -\frac{b}{2a} $} \\ \end{align}\]

Si Delta est négatif

Si $ \Delta $ était négatif dans $ (x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{\Delta}{4a^2} $ :

alors $ \frac{\Delta}{4a^2} $ serait de signe négatif
par conséquent $ - \frac{\Delta}{4a^2} $ serait de signe positif
- à cause de la règle des signes
- car moins par moins donne plus
on aurait toujours un nombre positif et le polynôme ne pourrait jamais s'annuler
en d'autres termes, il n'y a pas de solution

Sources

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Équation	Équivalent à
\( x + a = b \)	\( x = b - a \)
\( x - a = b \)	\( x = b + a \)
\( a \times x = b \)	\( x = \frac{b}{a} \)
\( \frac{x}{a} = b \)	\( x = b \times a \)

Équation	Résolution
\( 2x + 5 = 4 \)	isoler \( 2x \) puis diviser les membres de la nouvelle égalité par \( 2 \)
\( \frac{3x + 7}{6} = 4 \)	éliminer le dénominateur en multipliant les deux membres par \( 6 \)
\( \frac{-2x}{5} - \frac{1}{4} = \frac{3}{2} \)	réduire tous les termes au même dénominateur commun puis multiplier les deux membres par le dénominateur commun pour le supprimer
\( 4x - 5 = 3x - 8 \)	rassembler toutes les inconnues dans le même terme
\( \frac{3}{x} = \frac{5}{4} \)	quand l'inconnue apparaît au dénominateur on peut utiliser le produit en croix \( 5 \times x = 3 \times 4 \)
\( (2x - 3)(x + 2) = 0 \)	dans une équation produit un produit de facteur est nul si un de ses facteurs est nul l'équation admet 2 solutions
\( (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 \)	on développe le premier terme qui est une identité remarquable pour constater qu'il y a une infinité de solutions : \( x^2 + 4x + 4 = x^2 + 4x + 4 \) car les deux côtés sont égaux

Si	Alors l'équation \( x^2 = a \)
\( a < 0 \)	n'a pas de solution dans \( \mathbb{R} \)
\( a = 0 \)	a une solution \( x = 0 \)
\( a > 0 \)	a deux solutions \( \sqrt{a} \) et \( -\sqrt{a} \)

Si	Alors l'équation \( ax^2 + bx + c = 0 \)
\( \Delta > 0 \)	admet deux solutions appellées racines \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \) \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( \Delta = 0 \)	admet une racine double \( x = \frac{-b}{2a} \)
\( \Delta < 0 \)	n'a pas de solution réelle