Développement et factorisation

En calcul algébrique, on a parfois besoin de transformer des expressions :

• développer c'est « enlever les enveloppes » (les parenthèses) en appliquant la distributivité
• factoriser c'est « envelopper » c'est-à-dire mettre dans les enveloppes (les parenthèses) en utilisant les identités remarquables ou la mise en facteur commun

Un facteur est l'un des éléments constitutifs d'un produit.

La factorisation est l'inverse de la distributivité de la multiplication sur l'addition. C'est passer de \( ab + ac \) à \( a(b + c) \).

Règles à connaître pour développer et factoriser des expressions :

• priorité des opérations et des parenthèses
• distributivité de la multiplication
• règle des signes avec les nombres relatifs et les parenthèses
• différentes natures des termes (puissances, racines carrées, fractions…) et leurs propriétés de calcul
• identités remarquables

Pour factoriser, il faut :

1. vérifier que l'expression est sous la forme d'au moins deux expressions multipliées séparées par + ou -
2. mettre en évidence un facteur commun dans les deux (ou plusieurs) expressions multipliées
3. sortir le facteur commun et le mettre en facteur du reste

Quand l'expression n'est pas correctement structurée pour pouvoir être factorisée, il faut parfois penser :

• au terme 1 caché, par ex. \( 3x - 3 = 3 \times x - 3 \times 1 \)
• à factoriser une sous-partie de l'expression
• aux identités remarquables (parfois elle-mêmes dissimulées)

Règle des signes

Un signe - devant une parenthèse change le signe de tous les termes à l'intérieur des parenthèses :

• \( -(a + b) = (-1)(a + b) = -a - b \)
• \( -(a - b) = (-1)(a - b) = -a + b \)

Double distributivité de la multiplication

\[ (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + cd \]

Pour développer des binômes, les anglo-saxons utilisent un moyen mnémotechnique nommé FOIL :

First × First, Outer × Outer, Inner × Inner, Last × Last.

Identités remarquables du second degré

Les identités remarquables du second degré sont des raccourcis pour développer et factoriser :

\[ \fbox{$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $} \]

\[ \fbox{$ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $} \]

\[ \fbox{$ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $} \]

On parle d'identités car elles sont valables pour toutes les combinaisons possibles de nombres. Cela les distingue des équations plus générales, qui peuvent être valables pour certains nombres mais pas pour d'autres.

Démonstration par développement

\[\begin{align} (a + b)^2 &= (a + b)(a + b) \\ &= a \times a + a \times b + b \times a + b \times b \\ &= a^2 + ab + ab + b^2 \\ &= a^2 + 2ab + b^2 \\ \end{align}\]

Démonstration géométrique

Calculer des carrés grâce aux identités remarquables

Pour calculer de tête rapidement (avec un peu d'entraînement) le carré d'un nombre, on peut utiliser la 3ème identité remarquable en isolant \( a \) :

\[\begin{align} a^2 - b^2 &= (a + b)(a - b) \\ a^2 &= (a + b)(a - b) + b^2 \\ \end{align}\]

Il faut se souvenir qu'en base 10, les calculs sur des nombres qui finissent par 0 sont plus simples.

Ensuite il suffit de décomposer en se rapprochant de la dizaine la plus proche :

\[\begin{align} 23^2 &= (23 - 3)(23 + 3) + 3^2 \\ &= (20 \times 26) + 9 \\ &= 529 \\ \end{align}\]

Il existe aussi une identité remarquable pour calculer les cubes des nombres mais elle n'est pas du second degré.