Développement et factorisation

La loi de la distributivité de la multiplication sur l'addition permet de transformer des expressions :

• factoriser
  • c'est trouver ce qui est commun et le mettre à part pour ne l'effectuer qu'une seule fois
  • \( ab + ac = a(b + c) \)
  • c'est mettre dans des enveloppes (des parenthèses)
• développer
  • c'est répéter ce qui est commun
  • \( a(b + c) = ab + ac \)
  • c'est enlever ce qui enveloppe (les parenthèses)

Règles à connaître

• priorité des opérations
• distributivité de la multiplication
• règle des signes
• différentes natures des termes et leurs propriétés de calcul
  • puissances, racines carrées, fractions…
• identités remarquables

Facteur

Définition d'un facteur :

Un facteur est l'un des éléments constitutifs d'une multiplication.

Méthode pour factoriser

1. vérifier que l'expression est sous la forme d'au moins deux expressions multipliées séparées par + ou -
2. mettre en évidence un facteur commun dans les expressions multipliées
3. sortir le facteur commun et le mettre en facteur du reste

Voir l'invisible

Quand l'expression n'est pas correctement structurée pour pouvoir être factorisée, il faut parfois penser :

• au terme 1 caché, par ex. :
  • \( 3x - 3 = 3 \times x - 3 \times 1 \)
• à factoriser une sous-partie de l'expression
• aux identités remarquables
  • parfois elle-mêmes dissimulées

Règle des signes

Un signe - devant une parenthèse change le signe de tous les termes à l'intérieur des parenthèses :

• \( -(a + b) = (-1)(a + b) = -a - b \)
• \( -(a - b) = (-1)(a - b) = -a + b \)

Double distributivité de la multiplication

La double distributivité permet de développer un produit de deux sommes algébriques :

\[ (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + cd \]

Les anglo-saxons utilisent un moyen mnémotechnique nommé FOIL :

(First × First) + (Outer × Outer) + (Inner × Inner) + (Last × Last)

\[ ({\color{RubineRed}a} + {\color{ForestGreen}b})({\color{NavyBlue}c} + {\color{Goldenrod}d}) = \underbrace{{\color{RubineRed}a}{\color{NavyBlue}c}}_{\text{first}} + \underbrace{{\color{RubineRed}a}{\color{Goldenrod}d}}_{\text{outer}} + \underbrace{{\color{ForestGreen}b}{\color{NavyBlue}c}}_{\text{inner}} + \underbrace{{\color{ForestGreen}b}{\color{Goldenrod}d}}_{\text{last}} \]

Identités remarquables du second degré

Les identités remarquables du second degré sont des raccourcis pour développer et factoriser :

\[ \fbox{$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $} \]

\[ \fbox{$ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $} \]

\[ \fbox{$ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $} \]

On parle d'identités car elles sont valables pour toutes les combinaisons possibles de nombres. Cela les distingue des équations plus générales, qui peuvent être valables pour certains nombres mais pas pour d'autres.

Démonstration par développement

\[\begin{align} (a + b)^2 &= (a + b)(a + b) \\ &= a \times a + a \times b + b \times a + b \times b \\ &= a^2 + ab + ab + b^2 \\ &= a^2 + 2ab + b^2 \\ \end{align}\]

Démonstration géométrique

Calculer des carrés grâce aux identités remarquables

Pour calculer le carré d'un nombre de tête (avec un peu d'entraînement), on peut utiliser la 3ème identité remarquable et isoler \( a^2 \) :

\[\begin{align} a^2 - b^2 &= (a + b)(a - b) \\ a^2 &= (a + b)(a - b) + b^2 \\ \end{align}\]

En pratique, on décompose un nombre en se rapprochant de la dizaine la plus proche (car en base 10, les calculs sur des nombres qui finissent par 0 sont plus simples) :

\[\begin{align} 23^2 &= (23 - 3)(23 + 3) + 3^2 \\ &= (20 \times 26) + 9 \\ &= 529 \\ \end{align}\]

Il existe aussi une identité remarquable pour calculer les cubes des nombres.