Géométrie
La géométrie est la science étudiant les formes et leurs mesures.
Le mot géométrie vient du grec et signifie "reporter la mesure de la terre".
Vocabulaire
- Point
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- Un point désigne un emplacement.
- Il n'a ni longueur, ni largeur, ni épaisseur.
- C'est le plus petit élément constitutif de l'espace géométrique.
- Deux points sont confondus s'ils occupent le même emplacement, sinon distincts.
- Droite
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- Désigne une ligne constituée d'une infinité de points alignés.
- Elle se prolonge indéfiniment dans les deux sens.
- Demi-droite
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- Droite qui se prolonge indéfiniment dans un seul sens.
- Elle possède une extrémité nommée origine.
- Segment
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Partie d'une droite limitée par deux point et mesurable.
- Parallèle
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Se dit de droites qui ne se rencontrent pas, dont les points de chacune sont toujours équidistants.
- Perpendiculaire
-
Droite orthogonale à une autre (qui fait un angle droit) tout en lui étant sécante (qui la coupe).
Le mot perpendiculaire vient du latin perpendiculum "fil à plomb" (prenant toujours une direction verticale).
- Médiatrice
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Droite coupant perpendiculairement un segment en son milieu.
- Bissectrice
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Droite coupant un angle en 2 angles égaux.
- Figure géométrique
-
Ensemble de points qui représente un objet géométrique.
- Plan
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Surface plate dans laquelle peuvent s'inscrire des figures géométriques.
- Angle
-
- Portion de plan délimité par deux droites sécantes en un point.
- Ce point d'intersection est nommé sommet de l'angle.
Figures
Cercles
Un cercle est une courbe plane fermée constituée de points situés à égale distance \( {\color{RubineRed}r} \) (rayon) d'un point nommé centre.
Figure | Définition |
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Cercle
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Triangles
Un triangle est une figure à 3 angles (tri-angle) et 3 côtés.
Figure | Définition |
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Triangle rectangle
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Triangle isocèle
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Triangle équilatéral
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Quadrilatères
Un quadrilatère est une figure à 4 angles et 4 côtés.
La somme des angles internes d'un quadrilatère vaut 360°.
Figure | Définition |
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Rectangle
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Carré
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Parallélogramme
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Trapèze
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Losange
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Polygones réguliers
Le mot polygone vient du grec polýgônos ("polygonal"), composé de polús ("nombreux") et de gônia ("angle").
Un polygone est une figure qui a plusieurs angles et plusieurs côtés.
On parle de polygone régulier quand les côtés sont égaux.
Figure | Définition |
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Pentagone
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Hexagone
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Heptagone
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Octogone
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Angles intérieurs
Angles intérieurs d'un triangle équilatéral
Imaginons que l'on marche autour d'un triangle équilatéral.
On marche du point 1 au point 2, on tourne pour atteindre le sommet 3, et on revient au point 1 :
Étant revenus au point d'origine :
- le total des tours est égal à \( 360° \)
- chaque tour d'un sommet du triangle équilatéral est egal, donc chaque "virage" est égal à \( {\color{RubineRed}360° \div 3 = 120°} \)
Or le virage n'est pas l'angle intérieur, mais son angle supplémentaire.
Donc chaque angle intérieur est égal à \( {\color{ForestGreen}180° - 120° = 60°} \).
Angles intérieurs des polygones réguliers
Imaginons maintenant "marcher et tourner" autour d'un pentagone régulier :
- le total des tours est égal à \( 360° \)
- il y a cinq tours égaux, donc chaque "virage" est égal à \( 360° \div 5 = 72° \)
- donc chaque angle intérieur est égal à \( 180° - 72° = 108° \)
En généralisant pour un polygone régulier de \( n \) côtés :
- le total des tours est égal à \( 360° \)
- donc chaque "virage" est égal à \( 360° ÷ n \)
- donc chaque angle intérieur est égal à \( \fbox{$ 180° - (\frac{360°}{n}) $} \)
On comprend pourquoi 360° est un bon nombre pour mesurer un tour complet : il a beaucoup de diviseurs entiers.
Angles intérieurs d'un triangle
Imaginons maintenant marcher-et-tourner autour d'un triangle non équilatéral.
C'est plus compliqué parce que les virages ne sont pas égaux.
On sait que :
- le total des tours (\( {\color{RubineRed}t_1} \), \( {\color{RubineRed}t_2} \), \( {\color{RubineRed}t_3} \)) plus le total des angles intérieurs (\( {\color{ForestGreen}a_1} \), \( {\color{ForestGreen}a_2} \), \( {\color{ForestGreen}a_3} \)) est toujours égal à \( 3 \times 180° = 540° \)
- le total des tours (\( {\color{RubineRed}t_1} \), \( {\color{RubineRed}t_2} \), \( {\color{RubineRed}t_3} \)) est égal à \( 360° \) (soit un tour complet du triangle)
D'où :
\[\begin{align} ({\color{RubineRed}t_1 + t_2 + t_3}) + ({\color{ForestGreen}a_1 + a_2 + a_3}) &= 540° \\ {\color{RubineRed}360°} + {\color{ForestGreen}a_1 + a_2 + a_3} &= 540° \\ {\color{ForestGreen}a_1 + a_2 + a_3} &= 540° - {\color{RubineRed}360°} \\ {\color{ForestGreen}a_1 + a_2 + a_3} &= 180° \\ \end{align}\]
La somme des angles intérieurs d'un triangle est égale à 180°.
Une autre manière d'expliquer ça est d'utiliser les angles alternes-internes égaux (en bleu) :
Somme des angles d'un polygone
Figure | Définition |
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Somme des angles extérieurs
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Somme des angles intérieurs
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Périmètres et aires des figures planes
Un périmètre noté \( P \) :
- est la mesure du contour d'une figure
- vient du grec perimetros, de peri "autour" et metron "mesure"
Une aire notée \( A \) :
- est la mesure de la surface d'une figure
- se calcule en unités carrées
\( \pi \) :
- est la première lettre du mot grec περίμετρος (perimetros)
- est une constante telle que \( P = \pi \times D \) pour tout cercle de diamètre \( D \) et de périmètre \( P \)
- a une valeur approchée de 3,141592653589793
Figure | Périmètre | Aire |
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Carré de côté \( {\color{ForestGreen}c} \)
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Rectangle de longueur \( {\color{NavyBlue}L} \) et largeur \( {\color{RubineRed}l} \)
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Triangle de base \( {\color{NavyBlue}b} \) et hauteur \( h \)
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Parallélogramme de base \( {\color{NavyBlue}b} \) et hauteur \( h \)
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Trapèze de grande base \( {\color{Goldenrod}B} \) et de petite base \( {\color{NavyBlue}b} \)
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Losange de côté \( {\color{ForestGreen}c} \), de petite diagonale \( {\color{NavyBlue}d} \) et de grande diagonale \( {\color{RubineRed}D} \)
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Cercle de rayon \( {\color{RubineRed}r} \)
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Portion de cercle de rayon \( {\color{RubineRed}r} \) et d'angle \( {\color{NavyBlue}a} \)
Propriété : la longueur d'un arc de cercle est proportionnelle à la mesure de l'angle au centre \( {\color{NavyBlue}a} \) qui intercepte cet arc |
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Aires et volumes des solides
Les aires :
- l'aire de base notée \( A_B \) est la surface occupée par la figure servant de base
- l'aire latérale notée \( A_L \) est la surface occupée par les figures qui ne servent pas de base ni de sommet
- l'aire totale notée \( A_T \) est la surface recouverte par toutes les figures
Le volume noté \( V \) :
- est la mesure de l'espace occupée par un solide (dans un espace à 3 dimensions)
- se calcule en unités cubes
Solide | Aire | Volume |
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Parallélépipède rectangle
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Cube
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Cylindre
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Cône
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Sphère
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Théorème de Pythagore
Un triangle est un triangle rectangle si et seulement si le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés :
\[ \fbox{$ a^2 + b^2 = c^2 $} \]
Preuve sans mots du théorème de Pythagore.
Ce théorème permet d'être sûr qu'un triangle est rectangle et de calculer la longueur d'un côté.
Triplets pythagoriciens à connaître :
- \( a = 3, b = 4, c = 5 \)
- \( a = 6, b = 8, c = 10 \)
- \( a = 5, b = 12, c = 13 \)
- \( a = 8, b = 15, c = 17 \)
Théorème de Thales (ou théorème d'intersection)
Si deux droites parallèles coupent deux droites sécantes alors, elles déterminent deux triangles dont les côtés correspondants ont des longueurs proportionnelles.
Si \( D \in (A,C), E \in (A,B) \) et que \( DE \parallel CB \), alors :
\[ \fbox{$ \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} = \frac{DE}{CB} $} \]
Ce théorème permet de calculer des longueurs et de montrer que des droites sont parallèles.
Propriétés géométriques importantes
Propriété géométrique | Explication |
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Angles alternes-internes et alternes-externes
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Angles opposés par le sommet
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Triangle rectangle inscrit dans un cercle
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Hauteur et arrête d'un cube
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Triangle rectangle = 1/2 rectangle
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Triangle équilatéral
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Somme des angles intérieurs d'un hexagone régulier
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Triangle isocèle ou équilatéral
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Calcul du rayon du cercle inscrit dans un triangle rectangle
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