Géométrie

La géométrie est la science étudiant les formes et leurs mesures.

Le mot géométrie vient du grec et signifie "reporter la mesure de la terre".

Vocabulaire

Point
  • Un point désigne un emplacement.
  • Il n'a ni longueur, ni largeur, ni épaisseur.
  • C'est le plus petit élément constitutif de l'espace géométrique.
  • Deux points sont confondus s'ils occupent le même emplacement, sinon distincts.
Droite
  • Désigne une ligne constituée d'une infinité de points alignés.
  • Elle se prolonge indéfiniment dans les deux sens.
Demi-droite
  • Droite qui se prolonge indéfiniment dans un seul sens.
  • Elle possède une extrémité nommée origine.
Segment

Partie d'une droite limitée par deux point et mesurable.

Parallèle

Se dit de droites qui ne se rencontrent pas, dont les points de chacune sont toujours équidistants.

Perpendiculaire

Droite orthogonale à une autre (qui fait un angle droit) tout en lui étant sécante (qui la coupe).

Le mot perpendiculaire vient du latin perpendiculum "fil à plomb" (prenant toujours une direction verticale).

Médiatrice

Droite coupant perpendiculairement un segment en son milieu.

Bissectrice

Droite coupant un angle en 2 angles égaux.

Figure géométrique

Ensemble de points qui représente un objet géométrique.

Plan

Surface plate dans laquelle peuvent s'inscrire des figures géométriques.

Angle
  • Portion de plan délimité par deux droites sécantes en un point.
  • Ce point d'intersection est nommé sommet de l'angle.

Figures

Cercles

Un cercle est une courbe plane fermée constituée de points situés à égale distance \( {\color{RubineRed}r} \) (rayon) d'un point nommé centre.

Figure Définition
Cercle
  • La longueur \( 2 \times {\color{RubineRed}r} \) est nommée le diamètre \( D \) du cercle
  • Il exisite une infinité de cercles pour un même centre
  • Un arc de cercle est la portion d'un cercle définie par un angle \( {\color{ForestGreen}a} \)

Triangles

Un triangle est une figure à 3 angles (tri-angle) et 3 côtés.

Figure Définition
Triangle rectangle
  • Possède un angle droit de 90°
  • Le plus long côté est l'hypoténuse
Triangle isocèle
  • Possède 2 côtés et 2 angles égaux
Triangle équilatéral
  • Possède 3 côtés et 3 angles égaux (60°)

Quadrilatères

Un quadrilatère est une figure à 4 angles et 4 côtés.

La somme des angles internes d'un quadrilatère vaut 360°.

Figure Définition
Rectangle
  • Le mot "rectangle" vient du latin "rectus angulus" (angles rectes)
  • Le rectangle se définit sur ses angles (et non sur ses côtés)
  • Possède 4 angles droits (90°)
  • Les diagonales se coupent en leur milieu
Carré
  • Possède 4 angles droits (90°) et 4 côtés égaux
  • Le carré fait partie des rectangles
Parallélogramme
  • Les côtés opposés sont parallèles deux à deux
  • Les diagonales se coupent en leur milieu
Trapèze
  • Possède 2 côtés opposés parallèles
Losange
  • Possède 4 côtés égaux
  • Les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu

Polygones réguliers

Le mot polygone vient du grec polýgônos ("polygonal"), composé de polús ("nombreux") et de gônia ("angle").

Un polygone est une figure qui a plusieurs angles et plusieurs côtés.

On parle de polygone régulier quand les côtés sont égaux.

Figure Définition
Pentagone
  • Possède 5 angles et 5 côtés
Hexagone
  • Possède 6 angles et 6 côtés
Heptagone
  • Possède 7 angles et 7 côtés
Octogone
  • Possède 8 angles et 8 côtés

Angles intérieurs

Angles intérieurs d'un triangle équilatéral

Imaginons que l'on marche autour d'un triangle équilatéral.

On marche du point 1 au point 2, on tourne pour atteindre le sommet 3, et on revient au point 1 :

Étant revenus au point d'origine :

Or le virage n'est pas l'angle intérieur, mais son angle supplémentaire.

Donc chaque angle intérieur est égal à \( {\color{ForestGreen}180° - 120° = 60°} \).

Angles intérieurs des polygones réguliers

Imaginons maintenant "marcher et tourner" autour d'un pentagone régulier :

En généralisant pour un polygone régulier de \( n \) côtés :

On comprend pourquoi 360° est un bon nombre pour mesurer un tour complet : il a beaucoup de diviseurs entiers.

Angles intérieurs d'un triangle

Imaginons maintenant marcher-et-tourner autour d'un triangle non équilatéral.

C'est plus compliqué parce que les virages ne sont pas égaux.

On sait que :

D'où :

\[\begin{align} ({\color{RubineRed}t_1 + t_2 + t_3}) + ({\color{ForestGreen}a_1 + a_2 + a_3}) &= 540° \\ {\color{RubineRed}360°} + {\color{ForestGreen}a_1 + a_2 + a_3} &= 540° \\ {\color{ForestGreen}a_1 + a_2 + a_3} &= 540° - {\color{RubineRed}360°} \\ {\color{ForestGreen}a_1 + a_2 + a_3} &= 180° \\ \end{align}\]

La somme des angles intérieurs d'un triangle est égale à 180°.

Une autre manière d'expliquer ça est d'utiliser les angles alternes-internes égaux (en bleu) :

Somme des angles d'un polygone

Figure Définition
Somme des angles extérieurs
Somme des angles intérieurs
  • La somme des angles intérieurs est égale à la somme des angles des triangles qui peuvent être tracés depuis le sommet d'un des angles du polygone.
    Ce polygone de 7 côtés peut contenir 5 triangles.
    On peut généraliser en disant qu'un polygone de \( n \) côtés peut contenir \( n - 2 \) triangles.
    Donc la somme \( S \) des angles intérieurs d'un polygone est égale à :
    \[ \fbox{$ S = (n - 2) \times 180° $} \]
  • Explication angles intérieurs d'un polygone

Périmètres et aires des figures planes

Un périmètre noté \( P \) :

Une aire notée \( A \) :

\( \pi \) :

Figure Périmètre Aire
Carré de côté \( {\color{ForestGreen}c} \)
  • \( P = 4 {\color{ForestGreen}c} \)
  • \( A = {\color{ForestGreen}c}^2 \)
Rectangle de longueur \( {\color{NavyBlue}L} \) et largeur \( {\color{RubineRed}l} \)
  • \( P = 2({\color{NavyBlue}L} + {\color{RubineRed}l}) \)
  • \( A = {\color{NavyBlue}L} \times {\color{RubineRed}l} \)
Triangle de base \( {\color{NavyBlue}b} \) et hauteur \( h \)
  • \( P = {\color{ForestGreen}a} + {\color{NavyBlue}b} + {\color{RubineRed}c} \)
Parallélogramme de base \( {\color{NavyBlue}b} \) et hauteur \( h \)
  • \( P = 2({\color{RubineRed}a} + {\color{NavyBlue}b}) \)
Trapèze de grande base \( {\color{Goldenrod}B} \) et de petite base \( {\color{NavyBlue}b} \)
  • \( P = {\color{RubineRed}a} + {\color{NavyBlue}b} + {\color{ForestGreen}c} + {\color{Goldenrod}B} \)
Losange de côté \( {\color{ForestGreen}c} \), de petite diagonale \( {\color{NavyBlue}d} \) et de grande diagonale \( {\color{RubineRed}D} \)
  • \( P = 4 {\color{ForestGreen}c} \)
Cercle de rayon \( {\color{RubineRed}r} \)
Portion de cercle de rayon \( {\color{RubineRed}r} \) et d'angle \( {\color{NavyBlue}a} \)
Propriété : la longueur d'un arc de cercle est proportionnelle à la mesure de l'angle au centre \( {\color{NavyBlue}a} \) qui intercepte cet arc
  • \( P = \pi 2{\color{RubineRed}r} \times \frac{{\color{NavyBlue}a}}{360} \)
  • Démonstration en proportion du cercle :
    \(\begin{align} \frac{{\color{ForestGreen}\text{Périmètre arc}}}{\text{Périmètre cercle}} &= \frac{{\color{NavyBlue}\text{Angle au centre}}}{360°} \\ \frac{{\color{ForestGreen}\text{Périmètre arc}}}{\pi 2{\color{RubineRed}r}} &= \frac{{\color{NavyBlue}a}}{360} \\ {\color{ForestGreen}\text{Périmètre arc}} &= \frac{\pi 2{\color{RubineRed}r} \times {\color{NavyBlue}a}}{360} \\ \end{align}\)
  • \( A = \pi {\color{RubineRed}r}^2 \times \frac{{\color{NavyBlue}a}}{360} \)
  • Démonstration en proportion du cercle :
    \(\begin{align} \frac{\text{Aire secteur}}{\text{Aire cercle}} &= \frac{{\color{NavyBlue}\text{Angle secteur}}}{360°} \\ \frac{\text{Aire secteur}}{\pi {\color{RubineRed}r}^2} &= \frac{{\color{NavyBlue}a°}}{360°} \\ \text{Aire secteur} &= \frac{\pi {\color{RubineRed}r}^2 \times {\color{NavyBlue}a}}{360} \\ \end{align}\)

Aires et volumes des solides

Les aires :

Le volume noté \( V \) :

Solide Aire Volume
Parallélépipède rectangle
  • \(\begin{align} A_L &= 2({\color{RubineRed}L} \times {\color{Goldenrod}h}) + 2({\color{NavyBlue}l} \times {\color{Goldenrod}h}) \\ &= 2{\color{Goldenrod}h}({\color{RubineRed}L} + {\color{NavyBlue}l}) \\ \end{align}\)
  • \(\begin{align} A_T &= 2({\color{RubineRed}L} \times {\color{Goldenrod}h}) + 2({\color{NavyBlue}l} \times {\color{Goldenrod}h}) + 2({\color{RubineRed}L} \times {\color{NavyBlue}l}) \\ &= 2( {\color{RubineRed}L} {\color{Goldenrod}h} + {\color{NavyBlue}l} {\color{Goldenrod}h} + {\color{RubineRed}L} {\color{NavyBlue}l} ) \\ \end{align}\)
  • \(\begin{align} V &= A_B \times \text{hauteur} \\ &= {\color{RubineRed}L} \times {\color{NavyBlue}l} \times {\color{Goldenrod}h} \\ \end{align}\)
  • Explication volume prisme droit
Cube
  • \( A_B = {\color{RubineRed}c}^2 \)
  • \( A_L = 4 \times {\color{RubineRed}c}^2 \)
  • \( A_T = 6 \times {\color{RubineRed}c}^2 \)
  • \(\begin{align} V &= A_B \times \text{hauteur} \\ &= {\color{RubineRed}c}^2 \times {\color{RubineRed}c} \\ &= {\color{RubineRed}c}^3 \\ \end{align}\)
Cylindre
  • \( A_B = \pi {\color{RubineRed}r}^2 \)
  • \( A_L = 2 \pi {\color{RubineRed}r} \times {\color{NavyBlue}h} \)
    Aire latérale déroulée :
  • \( A_T = A_L + 2A_B \)
  • Explication aire cylindre
  • \(\begin{align} V &= A_B \times {\color{NavyBlue}h} \\ &= \pi {\color{RubineRed}r}^2 {\color{NavyBlue}h} \\ \end{align}\)
Cône
  • \( A_B = \pi {\color{RubineRed}r}^2 \)
  • \( A_L = \pi {\color{RubineRed}r} {\color{ForestGreen}c} \)
    Démonstration \( A_L \) :

    Calcul de \( {\color{NavyBlue}a} \) :
    \(\begin{align} \frac{{\color{NavyBlue}a°}}{360°} &= \frac{{\color{Goldenrod}\text{Périmètre arc de cercle}}}{{\color{Gray}\text{Périmètre cercle}}} \\ \frac{{\color{NavyBlue}a°}}{360°} &= \frac{\pi 2 {\color{RubineRed}r}}{\pi 2 {\color{ForestGreen}c}} \\ {\color{NavyBlue}a} &= \frac{360 \times \pi 2 {\color{RubineRed}r}}{\pi 2 {\color{ForestGreen}c}} \\ {\color{NavyBlue}a} &= \frac{360 {\color{RubineRed}r}}{{\color{ForestGreen}c}} \\ \end{align}\)
    Substitution de \( {\color{NavyBlue}a} \) :
    \(\begin{align} \text{Aire secteur} &= \frac{\pi {\color{ForestGreen}c}^2 {\color{NavyBlue}a}}{360} \\ &= \frac{\pi {\color{ForestGreen}c}^2 (\frac{360 {\color{RubineRed}r}}{{\color{ForestGreen}c}}) }{360} \\ &= \frac{360 \pi {\color{RubineRed}r} {\color{ForestGreen}c} }{360} \\ &= \pi {\color{RubineRed}r} {\color{ForestGreen}c} \\ \end{align}\)
  • \( A_T = A_L + A_B \)
  • \(\begin{align} V &= A_B \times {\color{NavyBlue}h} \times \frac{1}{3} \\ &= \pi {\color{RubineRed}r}^2 {\color{NavyBlue}h} \times \frac{1}{3} \\ \end{align}\)
    \( \frac{1}{3} \) car on remplit un tiers d'un cylindre avec un cône de même base et de même hauteur :
  • Explication volume cône (ou pyramide)
Sphère
  • \(\begin{align} V &= A_B \times \text{hauteur} \times \frac{2}{3} \\ &= \pi{\color{RubineRed}r}^2 \times {\color{NavyBlue}2r} \times \frac{2}{3} \\ &= \pi {\color{RubineRed}r}^3 \times \frac{4}{3} \\ \end{align}\)
    \( \frac{2}{3} \) car on remplit deux tiers d'un cylindre avec une sphère de même base et de même hauteur :
  • Explication volume sphère
  • Explication volume sphère avec les intégrales

Théorème de Pythagore

Un triangle est un triangle rectangle si et seulement si le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés :

\[ \fbox{$ a^2 + b^2 = c^2 $} \]

Preuve sans mots du théorème de Pythagore.

Ce théorème permet d'être sûr qu'un triangle est rectangle et de calculer la longueur d'un côté.

Triplets pythagoriciens à connaître :

Théorème de Thales (ou théorème d'intersection)

Si deux droites parallèles coupent deux droites sécantes alors, elles déterminent deux triangles dont les côtés correspondants ont des longueurs proportionnelles.

Si \( D \in (A,C), E \in (A,B) \) et que \( DE \parallel CB \), alors :

\[ \fbox{$ \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} = \frac{DE}{CB} $} \]

Ce théorème permet de calculer des longueurs et de montrer que des droites sont parallèles.

Propriétés géométriques importantes

Propriété géométrique Explication
Angles alternes-internes et alternes-externes
  • Deux droites parallèles coupées par une sécante forment des angles égaux deux à deux
  • Angles alternes-internes : \( ({\color{NavyBlue}x_1} = {\color{NavyBlue}x_2}), ({\color{Goldenrod}x_7} = {\color{Goldenrod}x_8}) \)
  • Angles alternes-externes \( ({\color{RubineRed}x_3} = {\color{RubineRed}x_4}), ({\color{ForestGreen}x_5} = {\color{ForestGreen}x_6}) \)
Angles opposés par le sommet
  • Deux droites qui se croisent forment des angles opposés par le sommet et égaux deux à deux
  • \( ({\color{ForestGreen}x_1} = {\color{ForestGreen}x_2}), ({\color{RubineRed}x_3} = {\color{RubineRed}x_4}) \)
Triangle rectangle inscrit dans un cercle
Hauteur et arrête d'un cube
  • Le côté \( X \) d'une face d'un cube est appelé une arête
  • D'après le théorème de Pythagore, la diagonale d'une face vaut :
    \(\begin{align} x^2 &= X^2 + X^2 \\ x^2 &= 2X^2 \\ x &= \sqrt{2X^2} \\ x &= X\sqrt{2} \\ \end{align}\)
Triangle rectangle = 1/2 rectangle
  • Un triangle rectangle correspond à la moitié d'un rectangle
Triangle équilatéral
  • Toutes les données d'un triangle équilatéral (aire, périmètre, hauteur, médiane, bissectrice, médiatrice, etc.) sont déductibles avec le théorème de Pythagore si on connaît la longueur d'un côté
Somme des angles intérieurs d'un hexagone régulier
  • Un hexagone régulier est composé de 6 triangle équilatéraux
  • Les angles opposés sont égaux
  • La somme des angles intérieurs est égale à 720° :
    \(\begin{align} {\color{ForestGreen}a} &= \frac{360}{6} = 60 \\ {\color{RubineRed}b} &= \frac{180 - 60}{2} = 60 \\ \end{align}\)
    Donc un angle intérieur = \( 60 \times 2 = 120° \)
    Donc la somme des 6 angles intérieurs = \( 120 \times 6 = 720° \)
Triangle isocèle ou équilatéral
  • Dans un triangle isocèle ou équilatéral, l'aire \( S_1 \) de la partie à gauche de la bissectrice est identique à l'aire \( S_2 \) de la partie à droite
Calcul du rayon du cercle inscrit dans un triangle rectangle

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