Géométrie

La géométrie est la science étudiant les formes et leurs mesures.

Le mot géométrie vient du grec et signifie "reporter la mesure de la terre".

Vocabulaire

Point

• Un point désigne un emplacement.
• Il n'a ni longueur, ni largeur, ni épaisseur.
• C'est le plus petit élément constitutif de l'espace géométrique.
• Deux points sont confondus s'ils occupent le même emplacement, sinon distincts.

Droite

• Désigne une ligne constituée d'une infinité de points alignés.
• Elle se prolonge indéfiniment dans les deux sens.

Demi-droite

• Droite qui se prolonge indéfiniment dans un seul sens.
• Elle possède une extrémité nommée origine.

Segment

Partie d'une droite limitée par deux points et mesurable.

Parallèle

Se dit de droites qui ne se rencontrent pas, dont les points de chacune sont toujours équidistants.

Perpendiculaire

Droite orthogonale à une autre (qui fait un angle droit) tout en lui étant sécante (qui la coupe).

Le mot perpendiculaire vient du latin perpendiculum "fil à plomb" (prenant toujours une direction verticale).

Différence entre perpendiculaire et orthogonal :

Dans un plan en 2D, être orthogonal ou perpendiculaire a la même signification.

Dans un espace en 3D : les droites peuvent être orthogonales (faire un angle droit) sans être perpendiculaires (sans se couper).

Médiatrice

Droite coupant perpendiculairement un segment en son milieu.

Du latin mediator de mediare "être au milieu".

Bissectrice

Droite coupant un angle en 2 angles égaux.

Du latin bi "deux fois" et sector "celui qui coupe".

Figure géométrique

Ensemble de points qui représente un objet géométrique.

Plan

Surface plate dans laquelle peuvent s'inscrire des figures géométriques.

Angle

• Portion de plan délimité par deux droites sécantes en un point.
• Ce point d'intersection est nommé sommet de l'angle.

Figures

Cercles

Un cercle :

• est une courbe plane fermée
• constituée de points situés à égale distance \( {\color{RubineRed}r} \) (rayon) d'un point nommé centre

Figure	Définition
Cercle	La longueur \( 2 \times {\color{RubineRed}r} \) est nommée le diamètre \( D \) du cercle Il exisite une infinité de cercles pour un même centre Un arc de cercle est la portion d'un cercle définie par un angle \( {\color{ForestGreen}a} \)

Triangles

Un triangle est une figure à 3 angles (tri-angle) et 3 côtés.

Figure	Définition
Triangle rectangle	Possède un angle droit de 90° Le plus long côté est l'hypoténuse
Triangle isocèle	Possède 2 côtés et 2 angles égaux
Triangle équilatéral	Possède 3 côtés et 3 angles égaux (60°)

Quadrilatères

Un quadrilatère est une figure à 4 angles et 4 côtés.

La somme des angles internes d'un quadrilatère vaut 360°.

Figure	Définition
Rectangle	Le mot "rectangle" vient du latin rectus angulus (angles rectes) Le rectangle se définit sur ses angles (et non sur ses côtés) Possède 4 angles droits (90° chacun) Les diagonales se coupent en leur milieu
Carré	Possède 4 angles droits (90° chacun) et 4 côtés égaux Le carré fait partie des rectangles
Parallélogramme	Les côtés opposés sont parallèles deux à deux Les diagonales se coupent en leur milieu
Trapèze	Possède 2 côtés opposés parallèles
Losange	Possède 4 côtés égaux Les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu

Polygones réguliers

Le mot polygone vient du grec polýgônos (polygonal), composé de polús (nombreux) et de gônia (angle).

Un polygone est une figure qui a plusieurs angles et plusieurs côtés.

On parle de polygone régulier quand les côtés sont égaux.

Figure	Définition
Pentagone	Possède 5 angles et 5 côtés
Hexagone	Possède 6 angles et 6 côtés
Heptagone	Possède 7 angles et 7 côtés
Octogone	Possède 8 angles et 8 côtés

Angles intérieurs

Angles intérieurs d'un triangle équilatéral

Pour mesurer les angles intérieurs d'un triangle équilatéral, on imagine que l'on marche autour de lui dans le sens des flèches :

• du point 1 au point 2
• puis du point 2 au point 3
• et on revient au point 1

Étant revenu au point 1 (le point d'origine) :

• on a fait le tour complet du triangle en trois virages
• le total des virages est donc de \( 360° \)
• puisque chaque tour d'un sommet du triangle équilatéral est egal
• alors chaque "virage" est égal à \( {\color{RubineRed}360° \div 3 = 120°} \)

Or le virage n'est pas l'angle intérieur du triangle que l'on cherche à mesurer, mais son angle supplémentaire.

Donc chaque angle intérieur est égal à \( {\color{ForestGreen}180° - 120° = 60°} \).

Angles intérieurs des polygones réguliers

Imaginons maintenant marcher-et-tourner autour d'un pentagone régulier :

• le total des tours est égal à \( 360° \)
• il y a cinq tours égaux, donc chaque "virage" est égal à \( 360° \div 5 = 72° \)
• donc chaque angle intérieur est égal à \( 180° - 72° = 108° \)

En généralisant pour un polygone régulier de \( n \) côtés :

• le total des tours est égal à \( 360° \)
• donc chaque "virage" est égal à \( 360° ÷ n \)
• donc chaque angle intérieur est égal à \( \fbox{$ 180° - (\frac{360°}{n}) $} \)

On comprend pourquoi 360° est un bon nombre pour mesurer un tour complet : il a beaucoup de diviseurs entiers.

Angles intérieurs d'un triangle

Imaginons maintenant marcher-et-tourner autour d'un triangle non équilatéral.

C'est plus compliqué parce que les virages ne sont pas égaux.

On sait que :

• le total des tours (\( {\color{RubineRed}t_1} \), \( {\color{RubineRed}t_2} \), \( {\color{RubineRed}t_3} \)) plus le total des angles intérieurs (\( {\color{ForestGreen}a_1} \), \( {\color{ForestGreen}a_2} \), \( {\color{ForestGreen}a_3} \)) est toujours égal à \( 3 \times 180° = 540° \)
• le total des tours (\( {\color{RubineRed}t_1} \), \( {\color{RubineRed}t_2} \), \( {\color{RubineRed}t_3} \)) est égal à \( 360° \) (soit un tour complet du triangle)

D'où :

\[\begin{align} ({\color{RubineRed}t_1 + t_2 + t_3}) + ({\color{ForestGreen}a_1 + a_2 + a_3}) &= 540° \\ {\color{RubineRed}360°} + {\color{ForestGreen}a_1 + a_2 + a_3} &= 540° \\ {\color{ForestGreen}a_1 + a_2 + a_3} &= 540° - {\color{RubineRed}360°} \\ {\color{ForestGreen}a_1 + a_2 + a_3} &= 180° \\ \end{align}\]

La somme des angles intérieurs d'un triangle est égale à 180°.

Une autre manière d'expliquer ça est d'utiliser les angles alternes-internes égaux (en bleu) :

Somme des angles d'un polygone

Figure	Définition
Somme des angles extérieurs	La somme des angles extérieurs vaut 360° (comme si on faisait le tour du polygone) Explication angles extérieurs d'un polygone
Somme des angles intérieurs	La somme des angles intérieurs est égale à la somme des angles des triangles qui peuvent être tracés depuis le sommet d'un des angles du polygone. Ce polygone de 7 côtés peut contenir 5 triangles. On peut généraliser en disant qu'un polygone de \( n \) côtés peut contenir \( n - 2 \) triangles. Donc la somme \( S \) des angles intérieurs d'un polygone est égale à : \[ \fbox{$ S = (n - 2) \times 180° $} \] Explication angles intérieurs d'un polygone

Périmètres et aires des figures planes

Un périmètre noté \( P \) :

• est la mesure du contour d'une figure
• vient du grec perimetros, de peri "autour" et metron "mesure"

Une aire notée \( A \) :

• est la mesure de la surface d'une figure
• se calcule en unités carrées

\( \pi \) :

• est la première lettre du mot grec περίμετρος (perimetros)
• est une constante telle que \( P = \pi \times D \) pour tout cercle de diamètre \( D \) et de périmètre \( P \)
• a une valeur approchée de 3,141592653589793

Figure	Périmètre	Aire
Carré de côté \( {\color{ForestGreen}c} \)	\( P = 4 {\color{ForestGreen}c} \)	\( A = {\color{ForestGreen}c}^2 \)
Rectangle de longueur \( {\color{NavyBlue}L} \) et largeur \( {\color{RubineRed}l} \)	\( P = 2({\color{NavyBlue}L} + {\color{RubineRed}l}) \)	\( A = {\color{NavyBlue}L} \times {\color{RubineRed}l} \)
Triangle de base \( {\color{NavyBlue}b} \) et hauteur \( h \)	\( P = {\color{ForestGreen}a} + {\color{NavyBlue}b} + {\color{RubineRed}c} \)	\( A = \frac{{\color{NavyBlue}b} \times h}{2} \) Explication aire triangle
Parallélogramme de base \( {\color{NavyBlue}b} \) et hauteur \( h \)	\( P = 2({\color{RubineRed}a} + {\color{NavyBlue}b}) \)	\( A = {\color{NavyBlue}b} \times h \) Explication aire parallélogramme
Trapèze de grande base \( {\color{Goldenrod}B} \) et de petite base \( {\color{NavyBlue}b} \)	\( P = {\color{RubineRed}a} + {\color{NavyBlue}b} + {\color{ForestGreen}c} + {\color{Goldenrod}B} \)	\( A = \frac{({\color{Goldenrod}B} + {\color{NavyBlue}b}) \times h}{2} \) Explication aire trapèze
Losange de côté \( {\color{ForestGreen}c} \), de petite diagonale \( {\color{NavyBlue}d} \) et de grande diagonale \( {\color{RubineRed}D} \)	\( P = 4 {\color{ForestGreen}c} \)	\( A = \frac{{\color{NavyBlue}d} \times {\color{RubineRed}D}}{2} \) Explication aire losange
Cercle de rayon \( {\color{RubineRed}r} \)	\( P = \pi \times 2{\color{RubineRed}r} \) \( P = \pi \times D \) Explication périmètre cercle pour \( D = 1 \) :	\( A = \pi \times {\color{RubineRed}r}^2 \) Explication aire cercle pour \( D = 1 \) :
Portion de cercle de rayon \( {\color{RubineRed}r} \) et d'angle \( {\color{NavyBlue}a} \)	Propriété : la longueur d'un arc de cercle est proportionnelle à la mesure de l'angle \( {\color{NavyBlue}a} \) qui l'intercepte
	\( P = \pi 2{\color{RubineRed}r} \times \frac{{\color{NavyBlue}a}}{360} \) Démonstration en proportion du cercle : \(\begin{align} \frac{{\color{ForestGreen}\text{Périmètre arc}}}{\text{Périmètre cercle}} &= \frac{{\color{NavyBlue}\text{Angle au centre}}}{360°} \\ \frac{{\color{ForestGreen}\text{Périmètre arc}}}{\pi 2{\color{RubineRed}r}} &= \frac{{\color{NavyBlue}a}}{360} \\ {\color{ForestGreen}\text{Périmètre arc}} &= \frac{\pi 2{\color{RubineRed}r} \times {\color{NavyBlue}a}}{360} \\ \end{align}\)	\( A = \pi {\color{RubineRed}r}^2 \times \frac{{\color{NavyBlue}a}}{360} \) Démonstration en proportion du cercle : \(\begin{align} \frac{\text{Aire secteur}}{\text{Aire cercle}} &= \frac{{\color{NavyBlue}\text{Angle secteur}}}{360°} \\ \frac{\text{Aire secteur}}{\pi {\color{RubineRed}r}^2} &= \frac{{\color{NavyBlue}a°}}{360°} \\ \text{Aire secteur} &= \frac{\pi {\color{RubineRed}r}^2 \times {\color{NavyBlue}a}}{360} \\ \end{align}\)

Aires et volumes des solides

Les aires :

• l'aire de base notée \( A_B \) est la surface occupée par la figure servant de base
• l'aire latérale notée \( A_L \) est la surface occupée par les figures qui ne servent pas de base ni de sommet
• l'aire totale notée \( A_T \) est la surface recouverte par toutes les figures

Le volume noté \( V \) :

• est la mesure de l'espace occupée par un solide (dans un espace à 3 dimensions)
• se calcule en unités cubes

Solide	Aire	Volume
Parallélépipède rectangle	\(\begin{align} A_L &= 2({\color{RubineRed}L} \times {\color{Goldenrod}h}) + 2({\color{NavyBlue}l} \times {\color{Goldenrod}h}) \\ &= 2{\color{Goldenrod}h}({\color{RubineRed}L} + {\color{NavyBlue}l}) \\ \end{align}\) \(\begin{align} A_T &= 2({\color{RubineRed}L} \times {\color{Goldenrod}h}) + 2({\color{NavyBlue}l} \times {\color{Goldenrod}h}) + 2({\color{RubineRed}L} \times {\color{NavyBlue}l}) \\ &= 2( {\color{RubineRed}L} {\color{Goldenrod}h} + {\color{NavyBlue}l} {\color{Goldenrod}h} + {\color{RubineRed}L} {\color{NavyBlue}l} ) \\ \end{align}\)	\(\begin{align} V &= A_B \times \text{hauteur} \\ &= {\color{RubineRed}L} \times {\color{NavyBlue}l} \times {\color{Goldenrod}h} \\ \end{align}\) Explication volume prisme droit
Cube	\( A_B = {\color{RubineRed}c}^2 \) \( A_L = 4 \times {\color{RubineRed}c}^2 \) \( A_T = 6 \times {\color{RubineRed}c}^2 \)	\(\begin{align} V &= A_B \times \text{hauteur} \\ &= {\color{RubineRed}c}^2 \times {\color{RubineRed}c} \\ &= {\color{RubineRed}c}^3 \\ \end{align}\)
Cylindre	\( A_B = \pi {\color{RubineRed}r}^2 \) \( A_L = 2 \pi {\color{RubineRed}r} \times {\color{NavyBlue}h} \) Aire latérale déroulée : \( A_T = A_L + 2A_B \) Explication aire cylindre	\(\begin{align} V &= A_B \times {\color{NavyBlue}h} \\ &= \pi {\color{RubineRed}r}^2 {\color{NavyBlue}h} \\ \end{align}\)
Cône	\( A_B = \pi {\color{RubineRed}r}^2 \) \( A_L = \pi {\color{RubineRed}r} {\color{ForestGreen}c} \) Démonstration \( A_L \) : Calcul de \( {\color{NavyBlue}a} \) : \(\begin{align} \frac{{\color{NavyBlue}a°}}{360°} &= \frac{{\color{Goldenrod}\text{Périmètre arc de cercle}}}{{\color{Gray}\text{Périmètre cercle}}} \\ \frac{{\color{NavyBlue}a°}}{360°} &= \frac{\pi 2 {\color{RubineRed}r}}{\pi 2 {\color{ForestGreen}c}} \\ {\color{NavyBlue}a} &= \frac{360 \times \pi 2 {\color{RubineRed}r}}{\pi 2 {\color{ForestGreen}c}} \\ {\color{NavyBlue}a} &= \frac{360 {\color{RubineRed}r}}{{\color{ForestGreen}c}} \\ \end{align}\) Substitution de \( {\color{NavyBlue}a} \) : \(\begin{align} \text{Aire secteur} &= \frac{\pi {\color{ForestGreen}c}^2 {\color{NavyBlue}a}}{360} \\ &= \frac{\pi {\color{ForestGreen}c}^2 (\frac{360 {\color{RubineRed}r}}{{\color{ForestGreen}c}}) }{360} \\ &= \frac{360 \pi {\color{RubineRed}r} {\color{ForestGreen}c} }{360} \\ &= \pi {\color{RubineRed}r} {\color{ForestGreen}c} \\ \end{align}\) \( A_T = A_L + A_B \)	\(\begin{align} V &= A_B \times {\color{NavyBlue}h} \times \frac{1}{3} \\ &= \pi {\color{RubineRed}r}^2 {\color{NavyBlue}h} \times \frac{1}{3} \\ \end{align}\) \( \frac{1}{3} \) car on remplit un tiers d'un cylindre avec un cône de même base et de même hauteur : Explication volume cône (ou pyramide)
Sphère	\( A_L = 4 \pi {\color{RubineRed}r}^2 \) Explication aire sphère Pourquoi l'aire d'une sphère est-elle 4 fois celle de son ombre ?	\(\begin{align} V &= A_B \times \text{hauteur} \times \frac{2}{3} \\ &= \pi{\color{RubineRed}r}^2 \times {\color{NavyBlue}2r} \times \frac{2}{3} \\ &= \pi {\color{RubineRed}r}^3 \times \frac{4}{3} \\ \end{align}\) \( \frac{2}{3} \) car on remplit deux tiers d'un cylindre avec une sphère de même base et de même hauteur : Explication volume sphère Explication volume sphère avec les intégrales

Théorème de Pythagore

Un triangle est un triangle rectangle si et seulement si le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés :

\[ \fbox{$ a^2 + b^2 = c^2 $} \]

Preuve sans mots du théorème de Pythagore.

Ce théorème permet d'être sûr qu'un triangle est rectangle et de calculer la longueur d'un côté.

Triplets pythagoriciens à connaître :

• \( a = 3, b = 4, c = 5 \)
• \( a = 6, b = 8, c = 10 \)
• \( a = 5, b = 12, c = 13 \)
• \( a = 8, b = 15, c = 17 \)

Théorème de Thales (ou théorème d'intersection)

Si deux droites parallèles coupent deux droites sécantes alors, elles déterminent deux triangles dont les côtés correspondants ont des longueurs proportionnelles.

Si \( D \in (A,C), E \in (A,B) \) et que \( DE \parallel CB \), alors :

\[ \fbox{$ \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} = \frac{DE}{CB} $} \]

Ce théorème permet de calculer des longueurs et de montrer que des droites sont parallèles.

Propriétés géométriques importantes

Propriété géométrique	Explication
Angles alternes-internes et alternes-externes	Deux droites parallèles coupées par une sécante forment des angles égaux deux à deux Angles alternes-internes : \( ({\color{NavyBlue}x_1} = {\color{NavyBlue}x_2}), ({\color{Goldenrod}x_7} = {\color{Goldenrod}x_8}) \) Angles alternes-externes \( ({\color{RubineRed}x_3} = {\color{RubineRed}x_4}), ({\color{ForestGreen}x_5} = {\color{ForestGreen}x_6}) \)
Angles opposés par le sommet	Deux droites qui se croisent forment des angles opposés par le sommet et égaux deux à deux \( ({\color{ForestGreen}x_1} = {\color{ForestGreen}x_2}), ({\color{RubineRed}x_3} = {\color{RubineRed}x_4}) \)
Triangle rectangle inscrit dans un cercle	Tout triangle dont les trois sommets se trouvent sur le cercle et dont un des côtés a la longueur du diamètre est un triangle rectangle Explication du triangle rectangle inscrit dans un cercle
Hauteur et arrête d'un cube	Le côté \( X \) d'une face d'un cube est appelé une arête D'après le théorème de Pythagore, la diagonale d'une face vaut : \(\begin{align} x^2 &= X^2 + X^2 \\ x^2 &= 2X^2 \\ x &= \sqrt{2X^2} \\ x &= X\sqrt{2} \\ \end{align}\)
Triangle rectangle = 1/2 rectangle	Un triangle rectangle correspond à la moitié d'un rectangle
Triangle équilatéral	Toutes les données d'un triangle équilatéral (aire, périmètre, hauteur, médiane, bissectrice, médiatrice, etc.) sont déductibles avec le théorème de Pythagore si on connaît la longueur d'un côté
Somme des angles intérieurs d'un hexagone régulier	Un hexagone régulier est composé de 6 triangle équilatéraux Les angles opposés sont égaux La somme des angles intérieurs est égale à 720° : \(\begin{align} {\color{ForestGreen}a} &= \frac{360}{6} = 60 \\ {\color{RubineRed}b} &= \frac{180 - 60}{2} = 60 \\ \end{align}\) Donc un angle intérieur = \( 60 \times 2 = 120° \) Donc la somme des 6 angles intérieurs = \( 120 \times 6 = 720° \)
Triangle isocèle ou équilatéral	Dans un triangle isocèle ou équilatéral, l'aire \( S_1 \) de la partie à gauche de la bissectrice est identique à l'aire \( S_2 \) de la partie à droite
Calcul du rayon du cercle inscrit dans un triangle rectangle	\( {\color{RubineRed}r} = \frac{2 \times \text{Aire du triangle}}{\text{Périmètre du triangle}} \) Explication du calcul du rayon du cercle inscrit dans un triangle rectangle