Comprendre les tables de multiplication

Inspiré par :

• Comment apprendre les tables de multiplication
• Mémorisation logique des tables de multiplication

La multiplication

La multiplication est une opération par laquelle on répète un nombre appelé multiplicande autant de fois que l'indique un autre nombre appelé multiplicateur.

Le résultat se nomme produit.

Le multiplicande et le multiplicateur se nomment les facteurs du produit.

La multiplication est l'abréviation d'une addition répétée. On répète le multiplicande autant de fois qu'il y a d'unités dans le multiplicateur : \( 3 \times 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 \).

Table de Pythagore

La table de Pythagore permet d'établir des liens visuels entre les nombres.

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
2	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22
3	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33
4	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44
5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55
6	0	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66
7	0	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77
8	0	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88
9	0	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99
10	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110
11	0	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121

Les cases redondantes

La multiplication est commutative. Ça veut dire que \( ab = ba \), donc par exemple \( 4 \times 7 = 7 \times 4 \).

On peut alors utiliser la forme la plus connue dans une multiplication et se défaire des redondances de la table de Pythagore :

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
2			4	6	8	10	12	14	16	18	20	22
3				9	12	15	18	21	24	27	30	33
4					16	20	24	28	32	36	40	44
5						25	30	35	40	45	50	55
6							36	42	48	54	60	66
7								49	56	63	70	77
8									64	72	80	88
9										81	90	99
10											100	110
11												121

Les multiplications par 0 et par 1

0 est l'élément absorbant de la multiplication arithmétique. Multiplier un nombre par 0 donne toujours 0.

1 est l'élément neutre de la multiplication arithmétique. Multiplier un nombre par 1 donne toujours ce nombre.

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0
1
2			4	6	8	10	12	14	16	18	20	22
3				9	12	15	18	21	24	27	30	33
4					16	20	24	28	32	36	40	44
5						25	30	35	40	45	50	55
6							36	42	48	54	60	66
7								49	56	63	70	77
8									64	72	80	88
9										81	90	99
10											100	110
11												121

Les multiplications par 10 et par 11

Multiplier par 10, c'est dix fois plus. En base 10 ça veut dire que le chiffre change de place vers la gauche et un 0 marque l'espace laissé vide.

La multiplication par 11, c'est comme multiplier 10 en ajoutant une unité.

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0
1
2			4	6	8	10	12	14	16	18
3				9	12	15	18	21	24	27
4					16	20	24	28	32	36
5						25	30	35	40	45
6							36	42	48	54
7								49	56	63
8									64	72
9										81
10
11												121

La multiplication par 2

La multiplication par 2 est un cas simple de la multiplication vue comme une addition : il suffit d'ajouter le nombre à lui-même.

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0
1
2
3				9	12	15	18	21	24	27
4					16	20	24	28	32	36
5						25	30	35	40	45
6							36	42	48	54
7								49	56	63
8									64	72
9										81
10
11												121

La multiplication par 5

Pour la multiplication par 5, on sait que 5 est la moitié de 10, donc :

• soit on divise par 2 puis on multiplie par 10
• soit on multiplie par 10 puis on divise par 2

Le produit de deux nombres impairs est toujours un nombre impair, donc puisqu'on avance de 5 en 5 :

• un nombre impair multiplié par 5 donne un nombre qui se termine par 5
• un nombre pair multiplié par 5 donne un nombre qui se termine par 0

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0
1
2
3				9	12		18	21	24	27
4					16		24	28	32	36
5
6							36	42	48	54
7								49	56	63
8									64	72
9										81
10
11												121

La multiplication par 9

Il y a plusieurs méthodes. Celle du complément à 9 est facile à retenir. On sait que :

• multiplier par 9 c'est multiplier par 1 de mois que par 10
• deux nombres sont des compléments à 9 si leur somme est égale à 9

Donc, quand on lit \( 3 \times 9 \), le résultat pour les dizaines est \( 3 - 1 = 2 \), et pour les unités c'est le complément à 9 de 2 qui est \( 9 - 2 = 7 \), soit 27.

La somme successive des chiffres d'un multiple de 9 donne toujours 9 en base 10.

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0
1
2
3				9	12		18	21	24
4					16		24	28	32
5
6							36	42	48
7								49	56
8									64
9
10
11												121

Les multiplications par 3 et 4

Pour la table de 3, on peut ajouter le multiplicande à son double ou bien ajouter deux fois le multiplicande à lui-même car \( 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1 \).

Pour la table de 4, \( 4 = 2 \times 2 \), il suffit de multiplier par 2, puis multiplier encore par 2.

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0
1
2
3
4
5
6							36	42	48
7								49	56
8									64
9
10
11												121

La diagonale des carrés

Il n'y a pas vraiment d'astuce pour les carrés, il faut les apprendre. Une identité remarquable peut servir mais a peu d'intérêt sur les petits carrés.

Pour le carré de 11, aprenez la méthode Trachtenberg de la multiplication par 11, ça vous servira aussi pour les grands nombres à multiplier par 11.

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0
1
2
3
4
5
6								42	48
7									56
8
9
10
11

Le reste

Pour \( 7 \times 8 \) retenir l'enchaînement mnémotechnique 5, 6, 7, 8 : \( 56 = 7 \times 8 \).

Pour \( 6 \times 7 \), on peut décomposer :

• \( 6 \times 7 = 2 \times 3 \times 7 = 2 \times 21 = 42 \)
• ou \( 6 \times 7 = (6 \times 6) + 6 = 36 + 6 = 42 \)

Pour \( 6 \times 8 \), on peut décomposer :

• \( 6 \times 8 = 2 \times 3 \times 8 = 2 \times 24 = 48 \)