Notation scientifique
La notation scientifique est une façon pratique et compacte pour représenter des nombres décimaux très grands ou très petits.
Définition
La syntaxe est composée de deux facteurs :
\[ \fbox{$ x = \pm a \times 10^n $} \]
- le premier facteur, nommé significande (ou mantisse), est composé :
- d'un signe
-ou+(souvent implicite) - et d'un nombre \( a \)
- décimal
- compris dans l'intervalle \( [1 ; 10[ \) c'est à dire entre \( 1 \) et \( 9 \)
- 0 exclu car cette notation sert (en partie) à représenter des nombres entre 0 et 1
- 10 exclu car la base forme la borne supérieure de l'intervalle (ici on travaille en base 10)
- d'un signe
- le second facteur est :
- une puissance de 10
- avec un exposant \( n \) :
- entier relatif
- si \( n ≥ 1 \) alors le nombre est plus grand que \( 1 \)
- si \( n ≤ -1 \) alors le nombre est compris entre \( 0 \) et \( 1 \)
On appelle chiffres significatifs le nombre de chiffres nécessaires à l'écriture de "\( a \)".
Conversions entre notations décimales et scientifiques
Pour passer de la notation décimale à la notation scientifique, il faut trouver le significande et l'exposant (le signe étant évident) :
- Si le nombre est plus petit que 1, par exemple \( 0,0000326 \) :
- on multiplie par 10 jusqu'à obtenir un nombre compris entre 1 (inclus) et 10 (exclu) en guise de significande
- le nombre de multiplications effectuées donne la valeur de l'exposant
- l'exposant sera négatif : \( 3,26 \times 10^{-5} \)
- Si le nombre est plus grand que 1, par exemple \( 10010,5 \) :
- on divise par 10 jusqu'à obtenir un nombre compris entre 1 (inclus) et 10 (exclu) en guise de significande
- le nombre de divisions effectuées donne la valeur de l'exposant
- l'exposant sera positif : \( 1,00105 \times 10^4 \)
Pour passer de la notation scientifique à la notation décimale :
- un exposant positif signifie multiplier par 10 et revient à décaler la virgule d'un chiffre vers la droite
- un exposant négatif signifie diviser par 10 et revient à décaler la virgule d'un chiffre vers la gauche
Déterminer un ordre de grandeur
Un ordre de grandeur permet d'avoir une idée approchée mais suffisante d'une grandeur physique.
Le significande permet de le déterminer rapidement :
- si
significande < 5alors l'ordre de grandeur est \( 10^n \) - si
significande ≥ 5alors l'ordre de grandeur est \( 10^{n + 1} \)- en effet \( 5,2 \times 10^2 = 520 \)
- est plus proche de \( 10^3 = 1000 \)
- que de \( 10^2 = 100 \)
- en effet \( 5,2 \times 10^2 = 520 \)
| Nombre | Notation scientifique | Ordre de grandeur |
|---|---|---|
| \( 12356,48 \) | \( 1,235648 \times 10^4 \) | \( 10^4 \) |
| \( 843 \) | \( 8,43 \times 10^2 \) | \( 10^3 \) |
| \( 0,0000124 \) | \( 1,24 \times 10^{-5} \) | \( 10^{-5} \) |
| \( 0,065 \) | \( 6,5 \times 10^{-2} \) | \( 10^{-1} \) |
Comparer des nombres
La notation scientifique permet de comparer deux nombres rapidement :
- si les exposants sont différents, alors le nombre avec l'exposant le plus grand est le nombre le plus grand
- si les exposants sont identiques, alors le nombre avec le significande le plus grand est le nombre le plus grand
Calcul
Les multiplications et divisions des nombres en notation scientifique sont faciles grâce aux propriétés des puissances.
Par contre, pour additionner ou soustraire, il faut les remettre sur le même ordre de grandeur :
- identifier le nombre en notation scientifique ayant la plus grande puissance de 10
- exprimer l'autre nombre à l'aide de cette puissance de 10
- additionner ou soustraire les nombres en additionnant ou en soustrayant les 1er facteurs seulement
- exprimer le résultat en notation scientifique
\[\begin{align} 1,5 \times 10^{-3} + 7,5 \times 10^{-2} &= 0,15 \times 10^{-2} + 7,5 \times 10^{-2} \\ &= 10^{-2} \times (0,15 + 7,5) \\ &= 7,65 \times 10^{-2} \\ \end{align}\]
Joint