Puissances

La notation des puissances, introduite par Descartes, permet de faire une abréviation : $ 2 \times 2 \times 2 = 2^3 $.

Le terme "puissance" serait une mauvaise traduction du grec ancien "amplification" (δύναμις).

La puissance est le nombre de fois qu'on multiplie une quantité par elle même.

Dans l'expression $ a^n $ :

le nombre $ a $ est appelé la base
le petit nombre $ n $ en haut à droite est l'exposant qui exprime le degré de la puissance
on prononce "$ a $ puissance $ n $" ou "$ a $ exposant $ n $"

Conventions

Pour qu'une puissance existe, il faut au moins deux termes.

Il faut donc des conventions pour $ a^0 $ et $ a^1 $ :

Définition	Convention
$ a^0 = 1 $	Toute base affectée de l'exposant `0` donne `1`
$ a^1 = a $	Toute base affectée de l'exposant `1` donne la base elle-même

Propriétés

Propriété	Démonstration	Explication
$ a^x \times a^y = a^{x + y} $	\[\begin{align} 2^3 \times 2^4 &= (2 \times 2 \times 2)(2 \times 2 \times 2 \times 2) \\ &= 2^7 \\ \end{align}\]	Produit de puissances de même base
$ \frac{a^x}{a^y} = a^{x - y} $	\[\begin{align} \frac{3^4}{3^2} &= \frac{3 \times 3 \times 3 \times 3}{3 \times 3} \\ &= 3^2 \\ \end{align}\]	Quotient de puissances de même base
$ (a \times b)^x = a^x \times b^x $	\[\begin{align} (4x)^3 &= (4x)(4x)(4x)\\ &= (4 \times 4 \times 4)(𝒙 \times 𝒙 \times 𝒙)\\ &= 4^3 \times x^3\\ &= 64x^3\\ \end{align}\]	Puissance d'un produit
$ (\frac{a}{b})^x = \frac{a^x}{b^x} $	\[\begin{align} (\frac{2}{5})^3 &= \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} \\ &= \frac{2^3}{5^3} \\ \end{align}\]	Puissance d'un quotient
$ (a^x)^y = a^{xy} = (a^y)^x $	\[\begin{align} (5^3)^2 &= (5 \times 5 \times 5)^2 \\ &= (5 \times 5 \times 5)(5 \times 5 \times 5) \\ &= 5^6 \\ \end{align}\]	Puissance d'une puissance

Puissances négatives

Division

Pour comprendre une puissance d'exposant négatif, une première possibilité est de penser à la signification d'un exposant positif : multiplier un nombre par lui-même plusieurs fois.

Donc $ 10^{-2} $ devrait signifier multiplier 10 par lui-même -2 fois. Comment donner un sens à -2 fois ? En pensant au contraire de la multiplication :

si une puissance positive veut dire multiplier
alors une puissance négative veut dire diviser

Un exposant négatif signifie combien de fois il faut diviser par le nombre :

Les exposants négatifs permettent d'écrire des nombres très petits compris entre 0 et 1.

Inverse multiplicatif

Une deuxième possibilité pour comprendre une puissance d'exposant négatif est de se dire que, puisque $ -n = 0 - n $, alors les propriétés des puissances nous permettent d'écrire :

\[ x^{-n} = x^{0-n} = \frac{x^0}{x^n} = \frac{1}{x^n} \]

\[ \fbox{$ x^{-n} = \frac{1}{x^n} $} \]

On voit qu'une puissance négative veut dire diviser.

On remarque que $ \frac{1}{x^n} $est l'inverse multiplicatif de $ x^n $ car leur produit vaut 1 :

$ \frac{1}{x^n} \times x^n = 1 $
et puisque $ x^{-n} = \frac{1}{x^n} $ :
- $ \frac{1}{x^n} \times x^n = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x^{-n} \times x^n = 1 $
donc une puissance négative est l'inverse multiplicatif d'une puissance positive : \[ \fbox{$ x^{-n} \times x^n = 1 $} \]

On en déduit que diviser par une puissance revient à multiplier par l'inverse de cette puissance :

\[ \left. \begin{array}{l} 2^3 \times {\color{ForestGreen}\frac{1}{2^3}} &= 2 \times 2 \times 2 \times \frac{1}{2 \times 2 \times 2} = 1 \\ 2^3 \times {\color{RubineRed}2^{-3}} &= 2^{3 + (-3)} = 2^0 = 1 \end{array} \right\} \quad {\color{RubineRed}2^{-3}} = {\color{ForestGreen}\frac{1}{2^3}} \]

Récapitulatif des inverses des puissances :

Définition	Démonstration
L'inverse de $ a^x $ se note $ a^{-x} $ ou $ \frac{1}{a^x} $	\[\begin{align} a^{x - x} &= 1 \\ a^x \times a^{-x} &= 1 \\ a^{-x} &= \frac{1}{a^x} \\ \end{align}\]
L'inverse de $ a^{-x} $ se note $ a^x $ ou $ \frac{1}{a^{-x}} $ (corollaire de la définition précédente)	\[\begin{align} a^{-x} &= \frac{1}{a^x} \\ a^{-x} \times a^x &= 1 \\ a^x &= \frac{1}{a^{-x}} \\ \end{align}\]
L'inverse de $ (\frac{a}{b})^x $ se note $ (\frac{a}{b})^{-x} $ ou $ (\frac{b}{a})^x $	\[\begin{align} (\frac{a}{b})^{-x} &= \frac{a^{-x}}{b^{-x}} \\ &= \frac{\frac{1}{a^x}}{\frac{1}{b^x}} \\ &= \frac{1}{a^x} \times b^x \\ &= \frac{b^x}{a^x} \\ &= (\frac{b}{a})^{x} \\ \end{align}\]

Exemples de puissances négatives

Exposant négatif	Résultat
$ 2^{-1} $	$ \frac{1}{2} $
$ 3^{-2} $	$ \frac{1}{3^2} $
$ x^{-3} $	$ \frac{1}{x^3} $
$ (2 + 4x)^{-2} $	$ \frac{1}{(2 + 4x)^2} $
$ (x^2 + y^2)^{-3} $	$ \frac{1}{(x^2 + y^2)^3} $

Exposant zéro

Maintenant qu'on a vu l'inverse et les propriétés des puissances, on peut montrer que $ a^0 = 1 $ :

\[\begin{align} a^0 &= a^{x - x} \\ &= a^x \times a^{-x} \\ &= a^x \times \frac{1}{a^x} \\ &= 1 \\ \end{align}\]

L'exposant zéro permet de ne pas casser le système de calcul :

$ 2^0 \times 2^1 = 2^{0 + 1} = 2^1 $
$ 2^{-1} \times 2^1 = 2^{-1 + 1} = 2^0 = 1 $
$ 2^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{1}{2}} = 2^{{\frac{1}{2}} + {\frac{1}{2}}} = 2^1 $

Signe d'une puissance

La puissance d'un nombre négatif dont l'exposant est pair est un nombre positif.

La puissance d'un nombre négatif dont l'exposant est impair est un nombre négatif.

Attention aux parenthèses :

$ (-2)^4 = 16 $
- (-2) est répété 4 fois (la base est -2)
$ (-2^4) = -2^4 = -16 $
- 2 est répété 4 fois
- le signe - n'est pas répété (la base est 2)

Puissances de fractions

Se demander qui est affecté par l'exposant
Effectuer la puissance des nombres affectés

Cas possibles :

Cas	Exemple
Seulement un des termes de la fraction est affecté par l'exposant	$ \frac{4^3}{5} = \frac{4 \times 4 \times 4}{5} = \frac{64}{5} $
L'exposant est différent pour le numérateur et le dénominateur	$ \frac{2^4}{3^3} = \frac{2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 3 \times 3} = \frac{16}{27} $
Toute la fraction est affectée par l'exposant	$ (\frac{7}{9})^2 = \frac{7 \times 7}{9 \times 9} = \frac{49}{81} $

Signe des puissances de fractions

Cas	Exemple
Le signe négatif est exclus de la parenthèse	$ -(\frac{7}{9})^2 = -\frac{7 \times 7}{9 \times 9} = -\frac{49}{81} $
Le signe négatif est inclus dans la parenthèse
Si l'exposant est pair, la puissance est positive	$ (\frac{-7}{9})^2 = \frac{-7 \times -7}{9 \times 9} = \frac{49}{81} $
Si l'exposant est impair, la puissance est négative	$ (\frac{-7}{9})^3 = \frac{-7 \times -7 \times -7}{9 \times 9 \times 9} = \frac{-343}{729} $
Deux signes négatifs s'annulent, la puissance est positive	$ (\frac{-7}{-9})^3 = \frac{-7 \times -7 \times -7}{-9 \times -9 \times -9} = \frac{-343}{-729} = \frac{343}{729} $

Carrés et cubes

Table des 20 premiers carrés et des 10 premiers cubes entiers :

$ x $	$ x^2 $	$ x^3 $
`1`	`1`	`1`
`2`	`4`	`8`
`3`	`9`	`27`
`4`	`16`	`64`
`5`	`25`	`125`
`6`	`36`	`216`
`7`	`49`	`343`
`8`	`64`	`512`
`9`	`81`	`729`
`10`	`100`	`1000`
`11`	`121`
`12`	`144`
`13`	`169`
`14`	`196`
`15`	`225`
`16`	`256`
`17`	`289`
`18`	`324`
`19`	`361`
`20`	`400`

Utiliser les propriétés des puissances

Quand c'est possible, on peut factoriser une expression qui contient des puissances :

\[ 2^{10} - 2^9 = 2^9(2^1 - 1) = 2^9 = 512 \]

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Exposant négatif	Résultat
\( 2^{-1} \)	\( \frac{1}{2} \)
\( 3^{-2} \)	\( \frac{1}{3^2} \)
\( x^{-3} \)	\( \frac{1}{x^3} \)
\( (2 + 4x)^{-2} \)	\( \frac{1}{(2 + 4x)^2} \)
\( (x^2 + y^2)^{-3} \)	\( \frac{1}{(x^2 + y^2)^3} \)

Définition	Convention
\( a^0 = 1 \)	Toute base affectée de l'exposant `0` donne `1`
\( a^1 = a \)	Toute base affectée de l'exposant `1` donne la base elle-même

Propriété	Démonstration	Explication
\( a^x \times a^y = a^{x + y} \)	\[\begin{align} 2^3 \times 2^4 &= (2 \times 2 \times 2)(2 \times 2 \times 2 \times 2) \\ &= 2^7 \\ \end{align}\]	Produit de puissances de même base
\( \frac{a^x}{a^y} = a^{x - y} \)	\[\begin{align} \frac{3^4}{3^2} &= \frac{3 \times 3 \times 3 \times 3}{3 \times 3} \\ &= 3^2 \\ \end{align}\]	Quotient de puissances de même base
\( (a \times b)^x = a^x \times b^x \)	\[\begin{align} (4x)^3 &= (4x)(4x)(4x)\\ &= (4 \times 4 \times 4)(𝒙 \times 𝒙 \times 𝒙)\\ &= 4^3 \times x^3\\ &= 64x^3\\ \end{align}\]	Puissance d'un produit
\( (\frac{a}{b})^x = \frac{a^x}{b^x} \)	\[\begin{align} (\frac{2}{5})^3 &= \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} \\ &= \frac{2^3}{5^3} \\ \end{align}\]	Puissance d'un quotient
\( (a^x)^y = a^{xy} = (a^y)^x \)	\[\begin{align} (5^3)^2 &= (5 \times 5 \times 5)^2 \\ &= (5 \times 5 \times 5)(5 \times 5 \times 5) \\ &= 5^6 \\ \end{align}\]	Puissance d'une puissance

Définition	Démonstration
L'inverse de \( a^x \) se note \( a^{-x} \) ou \( \frac{1}{a^x} \)	\[\begin{align} a^{x - x} &= 1 \\ a^x \times a^{-x} &= 1 \\ a^{-x} &= \frac{1}{a^x} \\ \end{align}\]
L'inverse de \( a^{-x} \) se note \( a^x \) ou \( \frac{1}{a^{-x}} \) (corollaire de la définition précédente)	\[\begin{align} a^{-x} &= \frac{1}{a^x} \\ a^{-x} \times a^x &= 1 \\ a^x &= \frac{1}{a^{-x}} \\ \end{align}\]
L'inverse de \( (\frac{a}{b})^x \) se note \( (\frac{a}{b})^{-x} \) ou \( (\frac{b}{a})^x \)	\[\begin{align} (\frac{a}{b})^{-x} &= \frac{a^{-x}}{b^{-x}} \\ &= \frac{\frac{1}{a^x}}{\frac{1}{b^x}} \\ &= \frac{1}{a^x} \times b^x \\ &= \frac{b^x}{a^x} \\ &= (\frac{b}{a})^{x} \\ \end{align}\]

Cas	Exemple
Seulement un des termes de la fraction est affecté par l'exposant	\( \frac{4^3}{5} = \frac{4 \times 4 \times 4}{5} = \frac{64}{5} \)
L'exposant est différent pour le numérateur et le dénominateur	\( \frac{2^4}{3^3} = \frac{2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 3 \times 3} = \frac{16}{27} \)
Toute la fraction est affectée par l'exposant	\( (\frac{7}{9})^2 = \frac{7 \times 7}{9 \times 9} = \frac{49}{81} \)

Cas	Exemple
Le signe négatif est exclus de la parenthèse	\( -(\frac{7}{9})^2 = -\frac{7 \times 7}{9 \times 9} = -\frac{49}{81} \)
Le signe négatif est inclus dans la parenthèse
Si l'exposant est pair, la puissance est positive	\( (\frac{-7}{9})^2 = \frac{-7 \times -7}{9 \times 9} = \frac{49}{81} \)
Si l'exposant est impair, la puissance est négative	\( (\frac{-7}{9})^3 = \frac{-7 \times -7 \times -7}{9 \times 9 \times 9} = \frac{-343}{729} \)
Deux signes négatifs s'annulent, la puissance est positive	\( (\frac{-7}{-9})^3 = \frac{-7 \times -7 \times -7}{-9 \times -9 \times -9} = \frac{-343}{-729} = \frac{343}{729} \)