Racine carrées

Il y a deux termes dans l'expression racine carrée :

carré qui désigne l'opération consistant à multiplier un élément par lui-même : $ 5 \times 5 = 5^2 = 25 $
racine qui désigne le nombre d'éléments initaux permettant de créer ce carré

La racine carrée de 25 (notée $ \sqrt{25} $) est 5.

Première intuition

D'un point de vue géométrique, on peut voir une racine carrée comme la longueur d'un côté d'un carré :

Notez que la racine carrée permet aussi de trouver la longueur d'un côté d'un carré en ne connaissant que son aire.

Définition de l'aire :

En mathématiques, l'aire est le nom donné à la mesure de la surface.

Définition

La racine carrée d'un nombre $ a $ est le nombre $ x $ dont le carré vaut $ a $ :

\[ a, x \in \mathbb{R_{≥ 0}} \quad \fbox{$ \sqrt{a} = x \quad \textbf{si} \quad x^2 = a $} \]

la racine carrée de $ a $ se note $ \sqrt{a} $ ou sqrt(a) en informatique (sqrt pour square root)
le symbole $ \sqrt{\phantom{x}} $ se nomme radical, ou racine
le nombre (ou l'expression algébrique) qui se trouve sous le radical se nomme le radicande

Par exemple $ \sqrt{9} = 3 $ et $ 3^2 = 9 $.

L'inverse de l'élévation au carré

La racine carrée est l'opération inverse (ou réciproque) de l'élévation au carré d'un nombre : $ \fbox{$ (\sqrt{a})^2 = a $} $.

Un carré est toujours positif

Pour déterminer la racine carrée de 25, il faut trouver le nombre qui élevé au carré vaut 25.

Il y a deux solutions, 5 et -5, car un nombre au carré est toujours positif.

En effet, il n'existe aucun nombre qui se multiplie par lui même pour donner un nombre négatif à cause de la règle des signes.

Donc $ \sqrt{-4} $ n'existe pas car $ -4 $ n'est le carré d'aucun nombre.

Plus généralement, la racine carrée d'un carré est égale à la valeur absolue de celui-ci : $ \fbox{$ \sqrt{a^2} = |a| $} $

Carrés parfaits

Un carré parfait est un nombre dont la racine carrée est un nombre entier :

\[\begin{align} \sqrt{4} &= 2 \\ \sqrt{9} &= 3 \\ \sqrt{16} &= 4 \\ \sqrt{25} &= 5 \\ \sqrt{36} &= 6 \\ \sqrt{49} &= 7 \\ \sqrt{64} &= 8 \\ \sqrt{81} &= 9 \\ \sqrt{100} &= 10 \\ \sqrt{121} &= 11 \\ \sqrt{144} &= 12 \\ \sqrt{169} &= 13 \\ \text{etc.} \\ \end{align}\]

Nombre irrationnels

Mais toutes les racines carrées ne sont pas des nombres entiers.

Avec le scandale des irrationnels, les Grecs découvrent que la diagonale d'un carré de côté 1 a une longueur qui ne peut être rationnelle.

En effet, d'après le théorème de Pythagore : $ a^2 + b^2 = c^2 $.

Donc pour un carré de côté 1, la diagonale vaut $ 1^2 + 1^2 = 2 $.

En d'autres termes, la diagonale d'un carré de côté 1 est un nombre qui multiplié par lui-même doit donner 2.

Or il est impossible d'écrire un nombre qui multiplié par lui-même donne 2 sous la forme d'un entier ou d'une fraction.

Donc la longueur de la diagonale est égale à $ \sqrt{2} $ qui est un nombre irrationnel.

Si $ a $ est un nombre positif, alors $ \sqrt{a} $ peut être :

un nombre entier naturel : $ \sqrt{25} = 5 $
un nombre décimal : $ \sqrt{2,25} = 1,5 $
un nombre rationnel : $ \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} $
un nombre irrationnel : $ \sqrt{2} $, $ \sqrt{3} $, $ \sqrt{5} $, $ \sqrt{7} $, $ \sqrt{8} $, $ \sqrt{10} $…

Conventions

Définition	Convention
$ \sqrt{0} = 0 $	La racine carrée de $ 0 $ donne $ 0 $ car $ 0^2 = 0 $
$ \sqrt{1} = 1 $	La racine carrée de $ 1 $ donne $ 1 $ car $ 1^2 = 1 $

Propriétés

Propriété	Exemple	Explication
$ \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} $	\[\begin{align} \sqrt{64} &= \sqrt{4 \times 16} \\ &= \sqrt{4} \times \sqrt{16} \\ &= 2 \times 4 \\ &= 8 \\ \end{align}\]	Racine carrée d'un produit On peut calculer le produit puis la racine, ou chaque racine puis le produit
$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $	\[\begin{align} \sqrt{\frac{4}{9}} &= \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} \\ &= \frac{2}{3} \\ \end{align}\]	Racine carrée d'un quotient On peut calculer le quotient puis la racine, ou chaque racine puis le quotient
$ (\sqrt{a})^2 = \sqrt{a} \times \sqrt{a} = \sqrt{a^2} = a $	\[\begin{align} (\sqrt{9})^2 &= \sqrt{9} \times \sqrt{9} \\ &= \sqrt{9^2} \\ &= \sqrt{81} \\ &= 9 \\ \end{align}\]	Annulation des carrés et des racines carrées

Incompatibilité avec addition et soustraction

Propriété	Exemple	Explication
$ \sqrt{a + b} ≤ \sqrt{a} + \sqrt{b} $	\[ \left. \begin{array}{l} \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \\ \sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7 \end{array} \right\} \sqrt{16 + 9} < \sqrt{16} + \sqrt{9} \]	La racine carrée d'une somme est plus petite que la somme des racines carrées des nombres composant la somme
$ \sqrt{a - b} ≥ \sqrt{a} - \sqrt{b} $	\[ \left. \begin{array}{l} \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} \\ \sqrt{16} - \sqrt{9} = 4 - 3 = 1 \end{array} \right\} \sqrt{16 - 9} > \sqrt{16} - \sqrt{9} \]	La racine carrée d'une différence est plus grande que la différence des racines carrées des nombres composant la différence

Plus généralement :

$ \fbox{$ \sqrt{a + b} ≤ \sqrt{a} + \sqrt{b} $} $
$ \fbox{$ \sqrt{a - b} ≥ \sqrt{a} - \sqrt{b} $} $

Démonstration de $ \sqrt{a + b} ≤ \sqrt{a} + \sqrt{b} $ en élèvant chaque membre au carré, puis en développant l'identité remarquable de droite :

\[\begin{align} \sqrt{a + b} &≤ \sqrt{a} + \sqrt{b} \\ (\sqrt{a + b})^2 &≤ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 \\ a + b &≤ a + b + 2\sqrt{ab} \\ \end{align}\]

Simplification

Simplifier une racine carrée, c'est se servir des carrés parfaits pour l'écrire sous la forme $ a\sqrt{b} $, où le nombre $ b $ sous le radical est le plus petit possible :

\[\begin{align} \sqrt{18} &= \sqrt{9 \times 2} \\ &= \sqrt{9} \times \sqrt{2} \\ &= 3 \times \sqrt{2} \\ &= 3\sqrt{2} \\ \end{align}\]

Plus généralement $ \fbox{$ \sqrt{k^2a} = k\sqrt{a} $} $.

Factorisation

Des racine carrées avec des radicaux similaires se factorisent :

\[ 5\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 7\sqrt{3} = (5 + 4 - 7)\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \]

Rapprochement entre racines carrées et exposants fractionnaires

Que se passe-t-il si les exposants sont des fractions ?

Dans ce cas, les propriétés des exposants continuent de fonctionner sans produire d'incohérence.

On peut alors faire un rapprochement entre exposants fractionnaires et racines carrées :

\[\begin{align} \text{On sait que :} \\ (2^{\frac{1}{2}})^2 &= 2^{(\frac{1}{2} \times 2)} = 2 \\ \text{On sait aussi que :} \\ (\sqrt{2})^2 &= 2 \\ \text{Donc :} \\ (\sqrt{2})^2 &= (2^{\frac{1}{2}})^2 \\ \sqrt{2} &= 2^{\frac{1}{2}} \\ \end{align}\]

Une autre façon de faire un rapprochement entre exposants fractionnaires et racines carrées est de déterminer $ x $ dans l'égalité suivante…

\[\begin{align} \sqrt{3} &= 3^x \\ \text{On élève chaque } \\ \text{membre au carré :} \\ (\sqrt{3})^2 &= (3^x)^2 \\ 3 &= (3^x)^2 \\ 3 &= 3^{2x} \\ 3^1 &= 3^{2x} \\ \text{Donc :} \\ 1 &= 2x \\ \frac{1}{2} &= x \\ \end{align}\]

…dans laquelle on voit que $ \sqrt{3} $ peut s'écrire $ 3^{\frac{1}{2}} $

D'une manière générale $ \fbox{$ \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} $} $.

Utiliser les propriétés des racines

Voir des racines invisibles :

\[ \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \]

Utiliser les exposants fractionnaires :

\[ (\sqrt{a})^n = (a^{\frac{1}{2}})^n = a^{\frac{n}{2}} \]

Racines n-ièmes

Si la racine la plus connue est la racine carrée, la définition est plus générale :

on parle de racine n-ième d'un nombre
notée $ \root n\of{a} $

La racine n-ième d'un nombre $ a $ est le nombre $ x $ tel que $ x^n = a $ :

\[ \fbox{$ \root n\of{a} = x \quad \textbf{si} \quad x^n = a $} \]

Propriété	Exemple	Explication
$ \root n\of{ab} = \root n\of{a} \times \root n\of{b} $	\[\begin{align} \root 5\of{12} &= \root 5\of{3} \times \root 5\of{4} \\ \end{align}\]	Racine d'un produit On peut calculer le produit puis la racine, ou chaque racine puis le produit
$ \root n\of{\frac{a}{b}} = \frac{\root n\of{a}}{\root n\of{b}} $	\[\begin{align} \sqrt{\frac{4}{9}} &= \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} \\ &= \frac{2}{3} \\ \end{align}\]	Racine d'un quotient On peut calculer le quotient puis la racine, ou chaque racine puis le quotient
$ (\root n\of{a})^m = \root n\of{a^m} $		On peut calculer la racine puis la puissance, ou la puissance puis la racine
$ (\root n\of{a})^n = \root n\of{a^n} = a $	\[\begin{align} \root 3\of{27} &= \root 3\of{3^3} \\ &= 3 \\ \end{align}\]	On peut annuler des puissances et des racines de même dégré
$ \root n\of{a^nb} = a \root n\of{b} $	\[\begin{align} \root 3\of{108} &= \root 3\of{27 \times 4} \\ &= \root 3\of{27} \times \root 3\of{4} \\ &= \root 3\of{3^3} \times \root 3\of{4} \\ &= 3 \times \root 3\of{4} \\ &= 3 \root 3\of{4} \\ \end{align}\]	On peut factoriser le radicande afin de simplifier l'écriture d'une racine
$ a^{\frac{1}{n}} = \root n\of{a} $		On peut représenter les racines n-ièmes par des exposants fractionnaires
$ a^{\frac{m}{n}} = (\root n\of{a})^m = \root n\of{a^m} $

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Définition	Convention
\( \sqrt{0} = 0 \)	La racine carrée de \( 0 \) donne \( 0 \) car \( 0^2 = 0 \)
\( \sqrt{1} = 1 \)	La racine carrée de \( 1 \) donne \( 1 \) car \( 1^2 = 1 \)

Propriété	Exemple	Explication
\( \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \)	\[\begin{align} \sqrt{64} &= \sqrt{4 \times 16} \\ &= \sqrt{4} \times \sqrt{16} \\ &= 2 \times 4 \\ &= 8 \\ \end{align}\]	Racine carrée d'un produit On peut calculer le produit puis la racine, ou chaque racine puis le produit
\( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \)	\[\begin{align} \sqrt{\frac{4}{9}} &= \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} \\ &= \frac{2}{3} \\ \end{align}\]	Racine carrée d'un quotient On peut calculer le quotient puis la racine, ou chaque racine puis le quotient
\( (\sqrt{a})^2 = \sqrt{a} \times \sqrt{a} = \sqrt{a^2} = a \)	\[\begin{align} (\sqrt{9})^2 &= \sqrt{9} \times \sqrt{9} \\ &= \sqrt{9^2} \\ &= \sqrt{81} \\ &= 9 \\ \end{align}\]	Annulation des carrés et des racines carrées

Propriété	Exemple	Explication
\( \sqrt{a + b} ≤ \sqrt{a} + \sqrt{b} \)	\[ \left. \begin{array}{l} \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \\ \sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7 \end{array} \right\} \sqrt{16 + 9} < \sqrt{16} + \sqrt{9} \]	La racine carrée d'une somme est plus petite que la somme des racines carrées des nombres composant la somme
\( \sqrt{a - b} ≥ \sqrt{a} - \sqrt{b} \)	\[ \left. \begin{array}{l} \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} \\ \sqrt{16} - \sqrt{9} = 4 - 3 = 1 \end{array} \right\} \sqrt{16 - 9} > \sqrt{16} - \sqrt{9} \]	La racine carrée d'une différence est plus grande que la différence des racines carrées des nombres composant la différence

Propriété	Exemple	Explication
\( \root n\of{ab} = \root n\of{a} \times \root n\of{b} \)	\[\begin{align} \root 5\of{12} &= \root 5\of{3} \times \root 5\of{4} \\ \end{align}\]	Racine d'un produit On peut calculer le produit puis la racine, ou chaque racine puis le produit
\( \root n\of{\frac{a}{b}} = \frac{\root n\of{a}}{\root n\of{b}} \)	\[\begin{align} \sqrt{\frac{4}{9}} &= \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} \\ &= \frac{2}{3} \\ \end{align}\]	Racine d'un quotient On peut calculer le quotient puis la racine, ou chaque racine puis le quotient
\( (\root n\of{a})^m = \root n\of{a^m} \)		On peut calculer la racine puis la puissance, ou la puissance puis la racine
\( (\root n\of{a})^n = \root n\of{a^n} = a \)	\[\begin{align} \root 3\of{27} &= \root 3\of{3^3} \\ &= 3 \\ \end{align}\]	On peut annuler des puissances et des racines de même dégré
\( \root n\of{a^nb} = a \root n\of{b} \)	\[\begin{align} \root 3\of{108} &= \root 3\of{27 \times 4} \\ &= \root 3\of{27} \times \root 3\of{4} \\ &= \root 3\of{3^3} \times \root 3\of{4} \\ &= 3 \times \root 3\of{4} \\ &= 3 \root 3\of{4} \\ \end{align}\]	On peut factoriser le radicande afin de simplifier l'écriture d'une racine
\( a^{\frac{1}{n}} = \root n\of{a} \)		On peut représenter les racines n-ièmes par des exposants fractionnaires
\( a^{\frac{m}{n}} = (\root n\of{a})^m = \root n\of{a^m} \)