Racine carrées

Il y a deux termes dans l'expression racine carrée :

carré qui désigne l'opération consistant à multiplier un élément par lui-même : $ 5 \times 5 = 5^2 = 25 $
racine qui désigne le nombre d'éléments initaux permettant de créer ce carré

La racine carrée de 25 est 5.

Première intuition

D'un point de vue géométrique, on peut voir une racine carrée comme la longueur d'un côté d'un carré :

Notez que la racine carrée permet aussi de trouver la longueur d'un côté d'un carré en ne connaissant que son aire.

Définition de l'aire :

En mathématiques, l'aire est le nom donné à la mesure de la surface.

Définition

La racine carrée d'un nombre $ a $ est le nombre $ x $ dont le carré vaut $ a $ :

\[ a, x \in \mathbb{R_{≥ 0}} \quad \fbox{$ \sqrt{a} = x \quad \textbf{si} \quad x^2 = a $} \]

la racine carrée de $ a $ se note $ \sqrt{a} $ ou sqrt(a) en informatique (sqrt pour square root)
le symbole $ \sqrt{\phantom{x}} $ se nomme radical, ou racine
le nombre (ou l'expression algébrique) qui se trouve sous le radical se nomme le radicande

Par exemple $ \sqrt{9} = 3 $ et $ 3^2 = 9 $.

L'inverse de l'élévation au carré

La racine carrée est l'opération inverse (ou réciproque) de l'élévation au carré d'un nombre : $ \fbox{$ (\sqrt{a})^2 = a $} $.

Un carré est toujours positif

Déterminer la racine carrée de 25, c'est trouver le nombre qui élevé au carré vaut 25.

Il y a deux réponses à cette question, 5 et -5 car un nombre au carré est toujours positif.

En effet, il n'existe aucun nombre qui se multiplie par lui même pour donner un nombre négatif à cause de la règle des signes.

Donc $ \sqrt{-4} $ n'existe pas car $ -4 $ n'est le carré d'aucun nombre.

Plus généralement, la racine carrée d'un carré est égale à la valeur absolue de celui-ci : $ \fbox{$ \sqrt{a^2} = |a| $} $.

Carrés parfaits

Un carré parfait est un nombre dont la racine carrée est un nombre entier :

\[\begin{align} \sqrt{4} &= 2 \\ \sqrt{9} &= 3 \\ \sqrt{16} &= 4 \\ \sqrt{25} &= 5 \\ \sqrt{36} &= 6 \\ \sqrt{49} &= 7 \\ \sqrt{64} &= 8 \\ \sqrt{81} &= 9 \\ \sqrt{100} &= 10 \\ \sqrt{121} &= 11 \\ \sqrt{144} &= 12 \\ \sqrt{169} &= 13 \\ \text{etc.} \\ \end{align}\]

Nombre irrationnels

Mais toutes les racines carrées ne sont pas des nombres entiers.

Avec le scandale des irrationnels, les Grecs découvrent que la diagonale d'un carré de côté 1 a une longueur qui ne peut être rationnelle.

En effet, d'après le théorème de Pythagore : $ a^2 + b^2 = c^2 $.

Donc pour un carré de côté 1, la diagonale vaut $ 1^2 + 1^2 = 2 $.

En d'autres termes, la diagonale d'un carré de côté 1 est un nombre qui multiplié par lui-même doit donner 2.

Or il est impossible d'écrire un nombre qui multiplié par lui-même donne 2 sous la forme d'un entier ou d'une fraction.

Donc la longueur de la diagonale est égale à $ \sqrt{2} $ qui est un nombre irrationnel.

Si $ a $ est un nombre positif, alors $ \sqrt{a} $ peut être :

un nombre entier naturel : $ \sqrt{25} = 5 $
un nombre décimal : $ \sqrt{2,25} = 1,5 $
un nombre rationnel : $ \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} $
un nombre irrationnel : $ \sqrt{2} $, $ \sqrt{3} $, $ \sqrt{5} $, $ \sqrt{7} $, $ \sqrt{8} $, $ \sqrt{10} $…

Conventions

Définition	Convention
$ \sqrt{0} = 0 $	La racine carrée de $ 0 $ donne $ 0 $ car $ 0^2 = 0 $
$ \sqrt{1} = 1 $	La racine carrée de $ 1 $ donne $ 1 $ car $ 1^2 = 1 $

Propriétés

Propriété	Exemple	Explication
$ \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} $	\[\begin{align} \sqrt{64} &= \sqrt{4 \times 16} \\ &= \sqrt{4} \times \sqrt{16} \\ &= 2 \times 4 \\ &= 8 \\ \end{align}\]	Racine carré d'un produit On peut calculer le produit puis la racine, ou chaque racine puis le produit
$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $	\[\begin{align} \sqrt{\frac{4}{9}} &= \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} \\ &= \frac{2}{3} \\ \end{align}\]	Racine carré d'un quotient On peut calculer le quotient puis la racine, ou chaque racine puis le quotient
$ (\sqrt{a})^2 = \sqrt{a} \times \sqrt{a} = \sqrt{a^2} = a $	\[\begin{align} (\sqrt{9})^2 &= \sqrt{9} \times \sqrt{9} \\ &= \sqrt{9^2} \\ &= \sqrt{81} \\ &= 9 \\ \end{align}\]	Annulation des carrés et des racines carrées

Incompatibilité avec addition et soustraction

Propriété	Exemple	Explication
$ \sqrt{a + b} ≤ \sqrt{a} + \sqrt{b} $	\[ \left. \begin{array}{l} \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \\ \sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7 \end{array} \right\} \sqrt{16 + 9} < \sqrt{16} + \sqrt{9} \]	La racine carrée d'une somme est plus petite que la somme des racines carrées des nombres composant la somme
$ \sqrt{a - b} ≥ \sqrt{a} - \sqrt{b} $	\[ \left. \begin{array}{l} \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} \\ \sqrt{16} - \sqrt{9} = 4 - 3 = 1 \end{array} \right\} \sqrt{16 - 9} > \sqrt{16} - \sqrt{9} \]	La racine carrée d'une différence est plus grande que la différence des racines carrées des nombres composant la différence

Plus généralement :

$ \fbox{$ \sqrt{a + b} ≤ \sqrt{a} + \sqrt{b} $} $
$ \fbox{$ \sqrt{a - b} ≥ \sqrt{a} - \sqrt{b} $} $

Démonstration de $ \sqrt{a + b} ≤ \sqrt{a} + \sqrt{b} $ en élèvant chaque membre au carré, puis en développant l'identité remarquable de droite :

\[\begin{align} \sqrt{a + b} &≤ \sqrt{a} + \sqrt{b} \\ (\sqrt{a + b})^2 &≤ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 \\ a + b &≤ a + b + 2\sqrt{ab} \\ \end{align}\]

Simplification

Simplifier une racine carrée, c'est se servir des carrés parfaits pour l’écrire sous la forme $ a\sqrt{b} $, où le nombre $ b $ sous le radical est le plus petit possible :

\[\begin{align} \sqrt{18} &= \sqrt{9 \times 2} \\ &= \sqrt{9} \times \sqrt{2} \\ &= 3 \times \sqrt{2} \\ &= 3\sqrt{2} \\ \end{align}\]

Plus généralement $ \fbox{$ \sqrt{k^2a} = k\sqrt{a} $} $.

Factorisation

Des racine carrées avec des radicaux similaires se factorisent :

\[ 5\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 7\sqrt{3} = (5 + 4 - 7)\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \]

Rapprochement entre racines carrées et exposants fractionnaires

Que se passe-t-il si les exposants sont des fractions ? Les propriétés des exposants continuent de fonctionner sans produire d'incohérence.

On peut alors faire un rapprochement entre exposants fractionnaires et racines carrées :

\[\begin{align} \text{On sait que :} \\ (2^{\frac{1}{2}})^2 &= 2^{(\frac{1}{2} \times 2)} = 2 \\ \text{On sait aussi que :} \\ (\sqrt{2})^2 &= 2 \\ \text{Donc :} \\ (\sqrt{2})^2 &= (2^{\frac{1}{2}})^2 \\ \sqrt{2} &= 2^{\frac{1}{2}} \\ \end{align}\]

Une autre façon de faire un rapprochement entre exposants fractionnaires et racines carrées est de déterminer $ x $ dans l'égalité suivante…

\[\begin{align} \sqrt{3} &= 3^x \\ \text{On élève chaque } \\ \text{membre au carré :} \\ (\sqrt{3})^2 &= (3^x)^2 \\ 3 &= (3^x)^2 \\ 3 &= 3^{2x} \\ \text{Donc :} \\ 3^{2x} &= 3 \\ 3^{2x} &= 3^1 \\ 2x &= 1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \end{align}\]

…dans laquelle on voit que $ \sqrt{3} $ peut s'écrire $ 3^{\frac{1}{2}} $

D'une manière générale $ \fbox{$ \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} $} $.

Utiliser les propriétés des racines

Voir des racines invisibles :

\[ \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \]

Utiliser les exposants fractionnaires :

\[ (\sqrt{a})^n = (a^{\frac{1}{2}})^n = a^{\frac{n}{2}} \]

Racines n-ièmes

Si la racine la plus connue est la racine carrée, la définition est plus générale : on parle de racine n-ième d'un nombre.

La racine n-ième d'un nombre $ x $ est le nombre $ a $ tel que $ a^n = x $ et se note $ \root n\of{x} $.

Propriété	Exemple	Explication
$ \root n\of{ab} = \root n\of{a} \times \root n\of{b} $	\[\begin{align} \root 5\of{12} &= \root 5\of{3} \times \root 5\of{4} \\ \end{align}\]	Racine d'un produit On peut calculer le produit puis la racine, ou chaque racine puis le produit
$ \root n\of{\frac{a}{b}} = \frac{\root n\of{a}}{\root n\of{b}} $	\[\begin{align} \sqrt{\frac{4}{9}} &= \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} \\ &= \frac{2}{3} \\ \end{align}\]	Racine d'un quotient On peut calculer le quotient puis la racine, ou chaque racine puis le quotient
$ (\root n\of{a})^m = \root n\of{a^m} $		On peut calculer la racine puis la puissance, ou la puissance puis la racine
$ (\root n\of{a})^n = \root n\of{a^n} = a $	\[\begin{align} \root 3\of{27} &= \root 3\of{3^3} \\ &= 3 \\ \end{align}\]	On peut annuler des puissances et des racines de même dégré
$ \root n\of{a^nb} = a \root n\of{b} $	\[\begin{align} \root 3\of{108} &= \root 3\of{27 \times 4} \\ &= \root 3\of{27} \times \root 3\of{4} \\ &= \root 3\of{3^3} \times \root 3\of{4} \\ &= 3 \times \root 3\of{4} \\ &= 3 \root 3\of{4} \\ \end{align}\]	On peut factoriser le radicande afin de simplifier l'écriture d'une racine
$ a^{\frac{1}{n}} = \root n\of{a} $		On peut représenter les racines n-ièmes par des exposants fractionnaires
$ a^{\frac{m}{n}} = (\root n\of{a})^m = \root n\of{a^m} $

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Définition	Convention
\( \sqrt{0} = 0 \)	La racine carrée de \( 0 \) donne \( 0 \) car \( 0^2 = 0 \)
\( \sqrt{1} = 1 \)	La racine carrée de \( 1 \) donne \( 1 \) car \( 1^2 = 1 \)

Propriété	Exemple	Explication
\( \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \)	\[\begin{align} \sqrt{64} &= \sqrt{4 \times 16} \\ &= \sqrt{4} \times \sqrt{16} \\ &= 2 \times 4 \\ &= 8 \\ \end{align}\]	Racine carré d'un produit On peut calculer le produit puis la racine, ou chaque racine puis le produit
\( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \)	\[\begin{align} \sqrt{\frac{4}{9}} &= \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} \\ &= \frac{2}{3} \\ \end{align}\]	Racine carré d'un quotient On peut calculer le quotient puis la racine, ou chaque racine puis le quotient
\( (\sqrt{a})^2 = \sqrt{a} \times \sqrt{a} = \sqrt{a^2} = a \)	\[\begin{align} (\sqrt{9})^2 &= \sqrt{9} \times \sqrt{9} \\ &= \sqrt{9^2} \\ &= \sqrt{81} \\ &= 9 \\ \end{align}\]	Annulation des carrés et des racines carrées

Propriété	Exemple	Explication
\( \sqrt{a + b} ≤ \sqrt{a} + \sqrt{b} \)	\[ \left. \begin{array}{l} \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \\ \sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7 \end{array} \right\} \sqrt{16 + 9} < \sqrt{16} + \sqrt{9} \]	La racine carrée d'une somme est plus petite que la somme des racines carrées des nombres composant la somme
\( \sqrt{a - b} ≥ \sqrt{a} - \sqrt{b} \)	\[ \left. \begin{array}{l} \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} \\ \sqrt{16} - \sqrt{9} = 4 - 3 = 1 \end{array} \right\} \sqrt{16 - 9} > \sqrt{16} - \sqrt{9} \]	La racine carrée d'une différence est plus grande que la différence des racines carrées des nombres composant la différence

Propriété	Exemple	Explication
\( \root n\of{ab} = \root n\of{a} \times \root n\of{b} \)	\[\begin{align} \root 5\of{12} &= \root 5\of{3} \times \root 5\of{4} \\ \end{align}\]	Racine d'un produit On peut calculer le produit puis la racine, ou chaque racine puis le produit
\( \root n\of{\frac{a}{b}} = \frac{\root n\of{a}}{\root n\of{b}} \)	\[\begin{align} \sqrt{\frac{4}{9}} &= \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} \\ &= \frac{2}{3} \\ \end{align}\]	Racine d'un quotient On peut calculer le quotient puis la racine, ou chaque racine puis le quotient
\( (\root n\of{a})^m = \root n\of{a^m} \)		On peut calculer la racine puis la puissance, ou la puissance puis la racine
\( (\root n\of{a})^n = \root n\of{a^n} = a \)	\[\begin{align} \root 3\of{27} &= \root 3\of{3^3} \\ &= 3 \\ \end{align}\]	On peut annuler des puissances et des racines de même dégré
\( \root n\of{a^nb} = a \root n\of{b} \)	\[\begin{align} \root 3\of{108} &= \root 3\of{27 \times 4} \\ &= \root 3\of{27} \times \root 3\of{4} \\ &= \root 3\of{3^3} \times \root 3\of{4} \\ &= 3 \times \root 3\of{4} \\ &= 3 \root 3\of{4} \\ \end{align}\]	On peut factoriser le radicande afin de simplifier l'écriture d'une racine
\( a^{\frac{1}{n}} = \root n\of{a} \)		On peut représenter les racines n-ièmes par des exposants fractionnaires
\( a^{\frac{m}{n}} = (\root n\of{a})^m = \root n\of{a^m} \)