Racine carrées

Il y a deux termes dans l'expression racine carrée :

La racine carrée de 25 est 5.

Première intuition

D'un point de vue géométrique, on peut voir une racine carrée comme la longueur d'un côté d'un carré :

Notez que la racine carrée permet aussi de trouver la longueur d'un côté d'un carré en ne connaissant que son aire.

Définition de l'aire :

En mathématiques, l'aire est le nom donné à la mesure de la surface.

Définition

La racine carrée d'un nombre \( x \) est le nombre \( a \) dont le carré vaut \( x \) :

\[ x, a \in \mathbb{R_{≥ 0}} \quad \fbox{$ \sqrt{x} = a \quad \textbf{si} \quad a^2 = x $} \]

Par exemple \( \sqrt{9} = 3 \) et \( 3^2 = 9 \).

L'inverse de l'élévation au carré

La racine carrée est l'opération inverse (ou réciproque) de l'élévation au carré d'un nombre : \( \fbox{$ (\sqrt{a})^2 = a $} \).

Un carré est toujours positif

Déterminer la racine carrée de 25, c'est trouver le nombre qui élevé au carré vaut 25.

Il y a deux réponses à cette question, 5 et -5 car un nombre au carré est toujours positif.

En effet, il n'existe aucun nombre qui se multiplie par lui même pour donner un nombre négatif à cause de la règle des signes.

Donc \( \sqrt{-4} \) n'existe pas car \( -4 \) n'est le carré d'aucun nombre.

Plus généralement \( \fbox{$ \sqrt{a^2} = |a| $} \) : la racine carrée d'un carré est égale à la valeur absolue de celui-ci.

Carrés parfaits

Un carré parfait est un nombre dont la racine carrée est un nombre entier :

\[\begin{align} \sqrt{4} &= 2 \\ \sqrt{9} &= 3 \\ \sqrt{16} &= 4 \\ \sqrt{25} &= 5 \\ \sqrt{36} &= 6 \\ \sqrt{49} &= 7 \\ \sqrt{64} &= 8 \\ \sqrt{81} &= 9 \\ \sqrt{100} &= 10 \\ \sqrt{121} &= 11 \\ \sqrt{144} &= 12 \\ \sqrt{169} &= 13 \\ \text{etc.} \\ \end{align}\]

Nombre irrationnels

Mais toutes les racines carrées ne sont pas des nombres entiers.

Avec le scandale des irrationnels, les Grecs découvrent que la diagonale d'un carré de côté 1 a une longueur qui ne peut être rationnelle.

En effet, d'après le théorème de Pythagore, la diagonale d'un carré de côté 1 est un nombre qui multiplié par lui-même doit donner 2 : \( a^2 + b^2 = c^2 \) donc \( 1^2 + 1^2 = 2 \).

Or il est impossible d'écrire un nombre qui multiplié par lui-même donne 2 sous la forme d'un entier ou d'une fraction.

Donc la longueur de la diagonale est égale à \( \sqrt{2} \) qui est un nombre irrationnel.

Si \( a \) est un entier qui n'est pas un carré parfait, alors \( \sqrt{a} \) est un nombre irrationnel dont on ne peut calculer exactement la racine carrée : \( \sqrt{2} \), \( \sqrt{3} \), \( \sqrt{5} \), \( \sqrt{7} \), \( \sqrt{8} \), \( \sqrt{10} \)… sont des nombres irrationnels.

Si \( a \) est un nombre positif, alors \( \sqrt{a} \) peut être :

Conventions

Définition Convention
\( \sqrt{0} = 0 \) La racine carrée de \( 0 \) donne \( 0 \) car \( 0^2 = 0 \)
\( \sqrt{1} = 1 \) La racine carrée de \( 1 \) donne \( 1 \) car \( 1^2 = 1 \)

Propriétés

Propriété Exemple Explication
\( \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \) \[\begin{align} \sqrt{64} &= \sqrt{4 \times 16} \\ &= \sqrt{4} \times \sqrt{16} \\ &= 2 \times 4 \\ &= 8 \\ \end{align}\] Racine carré d'un produit
On peut calculer le produit puis la racine, ou chaque racine puis le produit
\( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \) \[\begin{align} \sqrt{\frac{4}{9}} &= \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} \\ &= \frac{2}{3} \\ \end{align}\] Racine carré d'un quotient
On peut calculer le quotient puis la racine, ou chaque racine puis le quotient
\( (\sqrt{a})^2 = \sqrt{a} \times \sqrt{a} = \sqrt{a^2} = a \) \[\begin{align} (\sqrt{9})^2 &= \sqrt{9} \times \sqrt{9} \\ &= \sqrt{9^2} \\ &= \sqrt{81} \\ &= 9 \\ \end{align}\] Annulation des carrés et des racines carrées

Incompatibilité avec addition et soustraction

Propriété Exemple Explication
\( \sqrt{a + b} ≤ \sqrt{a} + \sqrt{b} \) \[ \left. \begin{array}{l} \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \\ \sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7 \end{array} \right\} \sqrt{16 + 9} < \sqrt{16} + \sqrt{9} \] La racine carrée d'une somme est plus petite que la somme des racines carrées des nombres composant la somme
\( \sqrt{a - b} ≥ \sqrt{a} - \sqrt{b} \) \[ \left. \begin{array}{l} \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} \\ \sqrt{16} - \sqrt{9} = 4 - 3 = 1 \end{array} \right\} \sqrt{16 - 9} > \sqrt{16} - \sqrt{9} \] La racine carrée d'une différence est plus grande que la différence des racines carrées des nombres composant la différence

Plus généralement :

Démonstration de \( \sqrt{a + b} ≤ \sqrt{a} + \sqrt{b} \) en élèvant chaque membre au carré, puis en développant l'identité remarquable de droite :

\[\begin{align} \sqrt{a + b} &≤ \sqrt{a} + \sqrt{b} \\ (\sqrt{a + b})^2 &≤ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 \\ a + b &≤ a + b + 2\sqrt{ab} \\ \end{align}\]

Simplification

Simplifier une racine carrée, c'est se servir des carrés parfaits pour l’écrire sous la forme \( a\sqrt{b} \), où le nombre \( b \) sous le radical est le plus petit possible :

\[\begin{align} \sqrt{18} &= \sqrt{9 \times 2} \\ &= \sqrt{9} \times \sqrt{2} \\ &= 3 \times \sqrt{2} \\ &= 3\sqrt{2} \\ \end{align}\]

Plus généralement \( \fbox{$ \sqrt{k^2a} = k\sqrt{a} $} \).

Factorisation

Des racine carrées avec des radicaux similaires se factorisent :

\[ 5\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 7\sqrt{3} = (5 + 4 - 7)\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \]

Rapprochement entre racines carrées et exposants fractionnaires

Que se passe-t-il si les exposants sont des fractions ? Les propriétés des exposants continuent de fonctionner sans produire d'incohérence.

On peut alors faire un rapprochement entre exposants fractionnaires et racines carrées :

\[\begin{align} \text{On sait que :} \\ (2^{\frac{1}{2}})^2 &= 2^{(\frac{1}{2} \times 2)} = 2 \\ \text{On sait aussi que :} \\ (\sqrt{2})^2 &= 2 \\ \text{Donc :} \\ (\sqrt{2})^2 &= (2^{\frac{1}{2}})^2 \\ \sqrt{2} &= 2^{\frac{1}{2}} \\ \end{align}\]

Une autre façon de faire un rapprochement entre exposants fractionnaires et racines carrées est de déterminer \( x \) dans l'égalité suivante…

\[\begin{align} \sqrt{3} &= 3^x \\ \text{On élève chaque } \\ \text{membre au carré :} \\ (\sqrt{3})^2 &= (3^x)^2 \\ 3 &= (3^x)^2 \\ 3 &= 3^{2x} \\ \text{Donc :} \\ 3^{2x} &= 3 \\ 3^{2x} &= 3^1 \\ 2x &= 1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \end{align}\]

…dans laquelle on voit que \( \sqrt{3} \) peut s'écrire \( 3^{\frac{1}{2}} \)

D'une manière générale \( \fbox{$ \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} $} \).

Utiliser les propriétés des racines

Voir des racines invisibles :

\[ \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \]

Utiliser les exposants fractionnaires :

\[ (\sqrt{a})^n = (a^{\frac{1}{2}})^n = a^{\frac{n}{2}} \]

Racines n-ièmes

Si la racine la plus connue est la racine carrée, la définition est plus générale : on parle de racine n-ième d'un nombre.

La racine n-ième d'un nombre \( x \) est le nombre \( a \) tel que \( a^n = x \) et se note \( \root n\of{x} \).

Propriété Exemple Explication
\( \root n\of{ab} = \root n\of{a} \times \root n\of{b} \) \[\begin{align} \root 5\of{12} &= \root 5\of{3} \times \root 5\of{4} \\ \end{align}\] Racine d'un produit
On peut calculer le produit puis la racine, ou chaque racine puis le produit
\( \root n\of{\frac{a}{b}} = \frac{\root n\of{a}}{\root n\of{b}} \) \[\begin{align} \sqrt{\frac{4}{9}} &= \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} \\ &= \frac{2}{3} \\ \end{align}\] Racine d'un quotient
On peut calculer le quotient puis la racine, ou chaque racine puis le quotient
\( (\root n\of{a})^m = \root n\of{a^m} \) On peut calculer la racine puis la puissance, ou la puissance puis la racine
\( (\root n\of{a})^n = \root n\of{a^n} = a \) \[\begin{align} \root 3\of{27} &= \root 3\of{3^3} \\ &= 3 \\ \end{align}\] On peut annuler des puissances et des racines de même dégré
\( \root n\of{a^nb} = a \root n\of{b} \) \[\begin{align} \root 3\of{108} &= \root 3\of{27 \times 4} \\ &= \root 3\of{27} \times \root 3\of{4} \\ &= \root 3\of{3^3} \times \root 3\of{4} \\ &= 3 \times \root 3\of{4} \\ &= 3 \root 3\of{4} \\ \end{align}\] On peut factoriser le radicande afin de simplifier l'écriture d'une racine
\( a^{\frac{1}{n}} = \root n\of{a} \) On peut représenter les racines n-ièmes par des exposants fractionnaires
\( a^{\frac{m}{n}} = (\root n\of{a})^m = \root n\of{a^m} \)

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