Racine carrées
Il y a deux termes dans l'expression racine carrée :
- carré qui désigne l'opération consistant à multiplier un élément par lui-même : \( 5 \times 5 = 5^2 = 25 \)
- racine qui désigne le nombre d'éléments initaux permettant de créer ce carré
La racine carrée de 25
est 5
.
Première intuition
D'un point de vue géométrique, on peut voir une racine carrée comme la longueur d'un côté d'un carré :
Notez que la racine carrée permet aussi de trouver la longueur d'un côté d'un carré en ne connaissant que son aire.
Définition de l'aire :
En mathématiques, l'aire est le nom donné à la mesure de la surface.
Définition
La racine carrée d'un nombre \( a \) est le nombre \( x \) dont le carré vaut \( a \) :
\[ a, x \in \mathbb{R_{≥ 0}} \quad \fbox{$ \sqrt{a} = x \quad \textbf{si} \quad x^2 = a $} \]
- la racine carrée de \( a \) se note \( \sqrt{a} \) ou
sqrt(a)
en informatique (sqrt
pour square root) - le symbole \( \sqrt{\phantom{x}} \) se nomme radical, ou racine
- le nombre (ou l'expression algébrique) qui se trouve sous le radical se nomme le radicande
Par exemple \( \sqrt{9} = 3 \) et \( 3^2 = 9 \).
L'inverse de l'élévation au carré
La racine carrée est l'opération inverse (ou réciproque) de l'élévation au carré d'un nombre : \( \fbox{$ (\sqrt{a})^2 = a $} \).
Un carré est toujours positif
Déterminer la racine carrée de 25
, c'est trouver le nombre qui élevé au carré vaut 25.
Il y a deux réponses à cette question, 5
et -5
car un nombre au carré est toujours positif.
En effet, il n'existe aucun nombre qui se multiplie par lui même pour donner un nombre négatif à cause de la règle des signes.
Donc \( \sqrt{-4} \) n'existe pas car \( -4 \) n'est le carré d'aucun nombre.
Plus généralement, la racine carrée d'un carré est égale à la valeur absolue de celui-ci : \( \fbox{$ \sqrt{a^2} = |a| $} \).
Carrés parfaits
Un carré parfait est un nombre dont la racine carrée est un nombre entier :
\[\begin{align} \sqrt{4} &= 2 \\ \sqrt{9} &= 3 \\ \sqrt{16} &= 4 \\ \sqrt{25} &= 5 \\ \sqrt{36} &= 6 \\ \sqrt{49} &= 7 \\ \sqrt{64} &= 8 \\ \sqrt{81} &= 9 \\ \sqrt{100} &= 10 \\ \sqrt{121} &= 11 \\ \sqrt{144} &= 12 \\ \sqrt{169} &= 13 \\ \text{etc.} \\ \end{align}\]
Nombre irrationnels
Mais toutes les racines carrées ne sont pas des nombres entiers.
Avec le scandale des irrationnels, les Grecs découvrent que la diagonale d'un carré de côté 1 a une longueur qui ne peut être rationnelle.
En effet, d'après le théorème de Pythagore : \( a^2 + b^2 = c^2 \).
Donc pour un carré de côté 1
, la diagonale vaut \( 1^2 + 1^2 = 2 \).
En d'autres termes, la diagonale d'un carré de côté 1
est un nombre qui multiplié par lui-même doit donner 2
.
Or il est impossible d'écrire un nombre qui multiplié par lui-même donne 2
sous la forme d'un entier ou d'une fraction.
Donc la longueur de la diagonale est égale à \( \sqrt{2} \) qui est un nombre irrationnel.
Si \( a \) est un nombre positif, alors \( \sqrt{a} \) peut être :
- un nombre entier naturel : \( \sqrt{25} = 5 \)
- un nombre décimal : \( \sqrt{2,25} = 1,5 \)
- un nombre rationnel : \( \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} \)
- un nombre irrationnel : \( \sqrt{2} \), \( \sqrt{3} \), \( \sqrt{5} \), \( \sqrt{7} \), \( \sqrt{8} \), \( \sqrt{10} \)…
Conventions
Définition | Convention |
---|---|
\( \sqrt{0} = 0 \) | La racine carrée de \( 0 \) donne \( 0 \) car \( 0^2 = 0 \) |
\( \sqrt{1} = 1 \) | La racine carrée de \( 1 \) donne \( 1 \) car \( 1^2 = 1 \) |
Propriétés
Propriété | Exemple | Explication |
---|---|---|
\( \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \) | \[\begin{align} \sqrt{64} &= \sqrt{4 \times 16} \\ &= \sqrt{4} \times \sqrt{16} \\ &= 2 \times 4 \\ &= 8 \\ \end{align}\] |
Racine carré d'un produit
On peut calculer le produit puis la racine, ou chaque racine puis le produit |
\( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \) | \[\begin{align} \sqrt{\frac{4}{9}} &= \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} \\ &= \frac{2}{3} \\ \end{align}\] |
Racine carré d'un quotient
On peut calculer le quotient puis la racine, ou chaque racine puis le quotient |
\( (\sqrt{a})^2 = \sqrt{a} \times \sqrt{a} = \sqrt{a^2} = a \) | \[\begin{align} (\sqrt{9})^2 &= \sqrt{9} \times \sqrt{9} \\ &= \sqrt{9^2} \\ &= \sqrt{81} \\ &= 9 \\ \end{align}\] | Annulation des carrés et des racines carrées |
Incompatibilité avec addition et soustraction
Propriété | Exemple | Explication |
---|---|---|
\( \sqrt{a + b} ≤ \sqrt{a} + \sqrt{b} \) | \[ \left. \begin{array}{l} \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \\ \sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7 \end{array} \right\} \sqrt{16 + 9} < \sqrt{16} + \sqrt{9} \] | La racine carrée d'une somme est plus petite que la somme des racines carrées des nombres composant la somme |
\( \sqrt{a - b} ≥ \sqrt{a} - \sqrt{b} \) | \[ \left. \begin{array}{l} \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} \\ \sqrt{16} - \sqrt{9} = 4 - 3 = 1 \end{array} \right\} \sqrt{16 - 9} > \sqrt{16} - \sqrt{9} \] | La racine carrée d'une différence est plus grande que la différence des racines carrées des nombres composant la différence |
Plus généralement :
- \( \fbox{$ \sqrt{a + b} ≤ \sqrt{a} + \sqrt{b} $} \)
- \( \fbox{$ \sqrt{a - b} ≥ \sqrt{a} - \sqrt{b} $} \)
Démonstration de \( \sqrt{a + b} ≤ \sqrt{a} + \sqrt{b} \) en élèvant chaque membre au carré, puis en développant l'identité remarquable de droite :
\[\begin{align} \sqrt{a + b} &≤ \sqrt{a} + \sqrt{b} \\ (\sqrt{a + b})^2 &≤ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 \\ a + b &≤ a + b + 2\sqrt{ab} \\ \end{align}\]
Simplification
Simplifier une racine carrée, c'est se servir des carrés parfaits pour l’écrire sous la forme \( a\sqrt{b} \), où le nombre \( b \) sous le radical est le plus petit possible :
\[\begin{align} \sqrt{18} &= \sqrt{9 \times 2} \\ &= \sqrt{9} \times \sqrt{2} \\ &= 3 \times \sqrt{2} \\ &= 3\sqrt{2} \\ \end{align}\]
Plus généralement \( \fbox{$ \sqrt{k^2a} = k\sqrt{a} $} \).
Factorisation
Des racine carrées avec des radicaux similaires se factorisent :
\[ 5\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 7\sqrt{3} = (5 + 4 - 7)\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \]
Rapprochement entre racines carrées et exposants fractionnaires
Que se passe-t-il si les exposants sont des fractions ? Les propriétés des exposants continuent de fonctionner sans produire d'incohérence.
On peut alors faire un rapprochement entre exposants fractionnaires et racines carrées :
\[\begin{align} \text{On sait que :} \\ (2^{\frac{1}{2}})^2 &= 2^{(\frac{1}{2} \times 2)} = 2 \\ \text{On sait aussi que :} \\ (\sqrt{2})^2 &= 2 \\ \text{Donc :} \\ (\sqrt{2})^2 &= (2^{\frac{1}{2}})^2 \\ \sqrt{2} &= 2^{\frac{1}{2}} \\ \end{align}\]
Une autre façon de faire un rapprochement entre exposants fractionnaires et racines carrées est de déterminer \( x \) dans l'égalité suivante…
\[\begin{align} \sqrt{3} &= 3^x \\ \text{On élève chaque } \\ \text{membre au carré :} \\ (\sqrt{3})^2 &= (3^x)^2 \\ 3 &= (3^x)^2 \\ 3 &= 3^{2x} \\ \text{Donc :} \\ 3^{2x} &= 3 \\ 3^{2x} &= 3^1 \\ 2x &= 1 \\ x &= \frac{1}{2} \\ \end{align}\]
…dans laquelle on voit que \( \sqrt{3} \) peut s'écrire \( 3^{\frac{1}{2}} \)
D'une manière générale \( \fbox{$ \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} $} \).
Utiliser les propriétés des racines
Voir des racines invisibles :
\[ \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \]
Utiliser les exposants fractionnaires :
\[ (\sqrt{a})^n = (a^{\frac{1}{2}})^n = a^{\frac{n}{2}} \]
Racines n-ièmes
Si la racine la plus connue est la racine carrée, la définition est plus générale : on parle de racine n-ième d'un nombre.
La racine n-ième d'un nombre \( x \) est le nombre \( a \) tel que \( a^n = x \) et se note \( \root n\of{x} \).
Propriété | Exemple | Explication |
---|---|---|
\( \root n\of{ab} = \root n\of{a} \times \root n\of{b} \) | \[\begin{align} \root 5\of{12} &= \root 5\of{3} \times \root 5\of{4} \\ \end{align}\] |
Racine d'un produit
On peut calculer le produit puis la racine, ou chaque racine puis le produit |
\( \root n\of{\frac{a}{b}} = \frac{\root n\of{a}}{\root n\of{b}} \) | \[\begin{align} \sqrt{\frac{4}{9}} &= \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} \\ &= \frac{2}{3} \\ \end{align}\] |
Racine d'un quotient
On peut calculer le quotient puis la racine, ou chaque racine puis le quotient |
\( (\root n\of{a})^m = \root n\of{a^m} \) | On peut calculer la racine puis la puissance, ou la puissance puis la racine | |
\( (\root n\of{a})^n = \root n\of{a^n} = a \) | \[\begin{align} \root 3\of{27} &= \root 3\of{3^3} \\ &= 3 \\ \end{align}\] | On peut annuler des puissances et des racines de même dégré |
\( \root n\of{a^nb} = a \root n\of{b} \) | \[\begin{align} \root 3\of{108} &= \root 3\of{27 \times 4} \\ &= \root 3\of{27} \times \root 3\of{4} \\ &= \root 3\of{3^3} \times \root 3\of{4} \\ &= 3 \times \root 3\of{4} \\ &= 3 \root 3\of{4} \\ \end{align}\] | On peut factoriser le radicande afin de simplifier l'écriture d'une racine |
\( a^{\frac{1}{n}} = \root n\of{a} \) | On peut représenter les racines n-ièmes par des exposants fractionnaires | |
\( a^{\frac{m}{n}} = (\root n\of{a})^m = \root n\of{a^m} \) |