Suites arithmétiques

Définition

Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme permet de déduire le suivant en lui ajoutant une constante appelée raison.

Conventions :

Valeur d'un terme

Dans la suite des multiples non nuls de trois \( 3 \ ; \ 6 \ ; \ 9 \ ; \ 12 \ ; \ 15 \) etc. :

Trouver la valeur de \( u_5 \) est facile (\( u_5 = 18 \)), mais trouver la valeur de \( u_{3249} \) est plus long…

Il faut trouver une relation :

\[\begin{align} u_{\color{Goldenrod}1} &= {\color{ForestGreen}u_0 + 3} = u_0 + ({\color{Goldenrod}1} \times 3) \\ u_{\color{Goldenrod}2} &= u_1 + 3 = {\color{ForestGreen}u_0 + 3} + 3 = {\color{RubineRed}u_0 + ({\color{Goldenrod}2} \times 3)} \\ u_{\color{Goldenrod}3} &= u_2 + 3 = {\color{RubineRed}u_0 + (2 \times 3)} + 3 = {\color{NavyBlue}u_0 + ({\color{Goldenrod}3} \times 3)} \\ u_{\color{Goldenrod}4} &= u_3 + 3 = {\color{NavyBlue}u_0 + (3 \times 3)} + 3 = u_0 + ({\color{Goldenrod}4} \times 3) \\ u_{\color{Goldenrod}5} &= \cdots \\ \end{align}\]

On en déduit \( u_n = u_0 + (n \times 3) \), d'où \( u_{3249} = 3 + (3249 \times 3) = 9750 \).

D'après la relation précédente :

\[ \fbox{$ \text{Valeur du terme d'indice n} = \text{1er terme} + (\text{Indice n} \times \text{Raison}) $} \]

\[ \fbox{$ u_n = u_0 + n \times r $} \]

Somme des termes

On illustre la relation générale à partir du calcul par Gauss de la somme des cinquante premiers nombres entiers.

Il a écrit la somme des cinquante premiers nombres entiers une fois dans un sens, une fois dans l'autre, puis a effectué la somme des deux lignes :

Dans un sens 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 48 + 49 + 50
Dans l'autre sens 50 + 49 + 48 + 47 + 46 + + 3 + 2 + 1
Somme des deux lignes 51 + 51 + 51 + 51 + 51 + + 51 + 51 + 51

On peut considérer la suite des cinquante premiers nombres entiers comme une suite arithmétique :

Donc : \( \frac{50 \times 51}{2} = \frac{50(u_0 + u_{49})}{2} \)

Plus généralement, pour trouver la somme des termes d'une suite arithmétique :

\[ \fbox{$ \text{Somme des termes} = \frac{ \text{Nombre de termes} \times (\text{1er terme} + \text{Dernier terme}) } {2} $} \]

D'où la formule suivante :

Si la suite est indexée à partir de 0 Si la suite est indexée à partir de 1
  • \( u\\_0 \) est le premier terme
  • \( u\\_n \) est le dernier terme
  • \( n + 1 \) est le nombre de termes de la suite
  • \( u\\_1 \) est le premier terme
  • \( u\\_n \) est le dernier terme
  • \( n \) est le nombre de termes de la suite
\[ \fbox{$ S = (n + 1) \frac{u\\_0 + u\\_n}{2} $} \] \[ \fbox{$ S = n \times \frac{u\\_1 + u\\_n}{2} $} \]

Une autre manière de voir les choses est de remarquer que tout terme (sauf le premier et le dernier) est la moyenne entre son précédent et son suivant.

La somme des termes de la suite est donc une simple moyenne entre le premier et le dernier multiplié par le nombre de termes :

Reconnaître une suite arithmétique

Pour reconnaître une suite arithmétique on calcule la raison \( r = u_{n + 1} - u_n \) :

Nombre d'éléments

Pour calculer un nombre d'éléments numérotés avec :

\[ \fbox{$ G - P + 1 $} \]

Exemple avec le nombre d'éléments numérotés de 45 à 92 (tickets, pages, etc.) : \( 92 - 45 + 1 = 48 \).

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