Suites arithmétiques
Définition
Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme permet de déduire le suivant en lui ajoutant une constante appelée raison.
Conventions :
- \( u \) est la suite
- \( u_n \) est le terme de rang (ou d'indice) \( n \)
- \( r \) est la raison
- le terme raison est une traduction du latin ratio dans le sens de rapport
- son utilisation ne se justifie pas bien dans le cas d'une suite arithmétique où il désigne la différence constante entre un terme et le précédent plutôt qu'un rapport
Valeur d'un terme
Dans la suite des multiples non nuls de trois \( 3 \ ; \ 6 \ ; \ 9 \ ; \ 12 \ ; \ 15 \) etc. :
- les termes de la suite sont :
- \( u_0 = 3 \)
- \( u_1 = 6 \)
- \( u_2 = 9 \)
- etc.
- pour obtenir les termes :
- \( u_1 = u_0 + 3 \)
- \( u_2 = u_1 + 3 \)
- \( u_3 = u_2 + 3 \)
- etc.
- la raison est \( r = 3 \)
Trouver la valeur de \( u_5 \) est facile (\( u_5 = 18 \)), mais trouver la valeur de \( u_{3249} \) est plus long…
Il faut trouver une relation :
\[\begin{align} u_{\color{Goldenrod}1} &= {\color{ForestGreen}u_0 + 3} = u_0 + ({\color{Goldenrod}1} \times 3) \\ u_{\color{Goldenrod}2} &= u_1 + 3 = {\color{ForestGreen}u_0 + 3} + 3 = {\color{RubineRed}u_0 + ({\color{Goldenrod}2} \times 3)} \\ u_{\color{Goldenrod}3} &= u_2 + 3 = {\color{RubineRed}u_0 + (2 \times 3)} + 3 = {\color{NavyBlue}u_0 + ({\color{Goldenrod}3} \times 3)} \\ u_{\color{Goldenrod}4} &= u_3 + 3 = {\color{NavyBlue}u_0 + (3 \times 3)} + 3 = u_0 + ({\color{Goldenrod}4} \times 3) \\ u_{\color{Goldenrod}5} &= \cdots \\ \end{align}\]
On en déduit \( u_n = u_0 + (n \times 3) \), d'où \( u_{3249} = 3 + (3249 \times 3) = 9750 \).
D'après la relation précédente :
\[ \fbox{$ \text{Valeur du terme d'indice n} = \text{1er terme} + (\text{Indice n} \times \text{Raison}) $} \]
\[ \fbox{$ u_n = u_0 + n \times r $} \]
Somme des termes
On illustre la relation générale à partir du calcul par Gauss de la somme des cinquante premiers nombres entiers.
Il a écrit la somme des cinquante premiers nombres entiers une fois dans un sens, une fois dans l'autre, puis a effectué la somme des deux lignes :
| Dans un sens | 1 | + | 2 | + | 3 | + | 4 | + | 5 | + | … | + | 48 | + | 49 | + | 50 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Dans l'autre sens | 50 | + | 49 | + | 48 | + | 47 | + | 46 | + | … | + | 3 | + | 2 | + | 1 |
| Somme des deux lignes | 51 | + | 51 | + | 51 | + | 51 | + | 51 | + | … | + | 51 | + | 51 | + | 51 |
- la somme des nombres de la troisième ligne est égale à \( 50 \times 51 \) or cette somme est égale à deux fois la somme des cinquante premiers nombre entiers
- donc la somme des cinquante premiers nombres entiers vaut \( \frac{50 \times 51}{2} \)
On peut considérer la suite des cinquante premiers nombres entiers comme une suite arithmétique :
- de \( 50 \) termes
- de raison \( r = 1 \)
- de premier terme \( u_0 = 1 \)
- de dernier terme \( u_{49} = 50 \)
Donc : \( \frac{50 \times 51}{2} = \frac{50(u_0 + u_{49})}{2} \)
Plus généralement, pour trouver la somme des termes d'une suite arithmétique :
\[ \fbox{$ \text{Somme des termes} = \frac{ \text{Nombre de termes} \times (\text{1er terme} + \text{Dernier terme}) } {2} $} \]
D'où la formule suivante :
| Si la suite est indexée à partir de 0 | Si la suite est indexée à partir de 1 |
|---|---|
|
|
| \[ \fbox{$ S = (n + 1) \frac{u\\_0 + u\\_n}{2} $} \] | \[ \fbox{$ S = n \times \frac{u\\_1 + u\\_n}{2} $} \] |
Une autre manière de voir les choses est de remarquer que tout terme (sauf le premier et le dernier) est la moyenne entre son précédent et son suivant.
La somme des termes de la suite est donc une simple moyenne entre le premier et le dernier multiplié par le nombre de termes :
Reconnaître une suite arithmétique
Pour reconnaître une suite arithmétique on calcule la raison \( r = u_{n + 1} - u_n \) :
- si \( r \) est une constante, la suite est arithmétique
- si \( r \) n'est pas une constante, la suite n'est pas arithmétique
Nombre d'éléments
Pour calculer un nombre d'éléments numérotés avec :
- \( G \) le plus grand nombre
- \( P \) le plus petit nombre
\[ \fbox{$ G - P + 1 $} \]
Exemple avec le nombre d'éléments numérotés de 45 à 92 (tickets, pages, etc.) : \( 92 - 45 + 1 = 48 \).
Joint