Suites arithmétiques
Définition
Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme permet de déduire le suivant en lui ajoutant une constante appelée raison.
Conventions :
- \( u \) est la suite
- \( u_n \) est le terme de rang (ou d'indice) \( n \)
- \( r \) est la raison
- le terme raison est une traduction du latin ratio dans le sens de rapport
- son utilisation ne se justifie pas bien dans le cas d'une suite arithmétique où il désigne la différence constante entre un terme et le précédent plutôt qu'un rapport
Valeur d'un terme
Dans la suite des multiples non nuls de trois \( 3 \ ; \ 6 \ ; \ 9 \ ; \ 12 \ ; \ 15 \) etc. :
- les termes de la suite sont :
- \( u_0 = 3 \)
- \( u_1 = 6 \)
- \( u_2 = 9 \)
- etc.
- pour obtenir les termes :
- \( u_1 = u_0 + 3 \)
- \( u_2 = u_1 + 3 \)
- \( u_3 = u_2 + 3 \)
- etc.
- la raison est \( r = 3 \)
Trouver la valeur de \( u_5 \) est facile (\( u_5 = 18 \)), mais trouver la valeur de \( u_{3249} \) est plus long…
Il faut trouver une relation :
\[\begin{align} u_{\color{Goldenrod}1} &= {\color{ForestGreen}u_0 + 3} = u_0 + ({\color{Goldenrod}1} \times 3) \\ u_{\color{Goldenrod}2} &= u_1 + 3 = {\color{ForestGreen}u_0 + 3} + 3 = {\color{RubineRed}u_0 + ({\color{Goldenrod}2} \times 3)} \\ u_{\color{Goldenrod}3} &= u_2 + 3 = {\color{RubineRed}u_0 + (2 \times 3)} + 3 = {\color{NavyBlue}u_0 + ({\color{Goldenrod}3} \times 3)} \\ u_{\color{Goldenrod}4} &= u_3 + 3 = {\color{NavyBlue}u_0 + (3 \times 3)} + 3 = u_0 + ({\color{Goldenrod}4} \times 3) \\ u_{\color{Goldenrod}5} &= \cdots \\ \end{align}\]
On en déduit \( u_n = u_0 + (n \times 3) \), d'où \( u_{3249} = 3 + (3249 \times 3) = 9750 \).
D'après la relation précédente :
\[ \fbox{$ \text{Valeur du terme d'indice n} = \text{1er terme} + (\text{Indice n} \times \text{Raison}) $} \]
\[ \fbox{$ u_n = u_0 + n \times r $} \]
Somme de Gauss
Pour calculer la somme des cinquante premiers nombres entiers, soit \( 1 + 2 + \dots + 50 \), le jeune Gauss aurait stupéfié son professeur en annonçant rapidement la bonne réponse.
Il a écrit la somme des cinquante premiers nombres entiers une fois dans un sens, une fois dans l'autre, puis a effectué la somme des deux lignes :
| Dans un sens | 1 | + | 2 | + | 3 | + | 4 | + | 5 | + | … | + | 48 | + | 49 | + | 50 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Dans l'autre sens | 50 | + | 49 | + | 48 | + | 47 | + | 46 | + | … | + | 3 | + | 2 | + | 1 |
| Somme des deux lignes | 51 | + | 51 | + | 51 | + | 51 | + | 51 | + | … | + | 51 | + | 51 | + | 51 |
- la somme des nombres de la troisième ligne est égale à \( 50 \times 51 \)
- or cette somme est égale à deux fois la somme des cinquante premiers nombre entiers
- donc la somme des cinquante premiers nombres entiers vaut \( \frac{50 \times 51}{2} \)
Une autre façon de penser à cette somme est de la visualiser. On représente ici la somme \( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 \) car une image de la somme de 1 à 50 occuperait trop d'espace :
Pour généraliser le calcul d'une somme, on écrit :
\[ \fbox{$ 1 + 2 + 3 + \cdots + n $} \]
La formule suivante permet d'obtenir cette somme :
\[ \fbox{$ 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2} $} \]
Somme des termes d'une suite arithmétique
La somme de Gauss est pratique.
Or dans une suite arithmétique, on ne commence pas forcément par \( 1 \) et les nombres ne se suivent pas toujours.
Mais si on considère la suite des cinquante premiers nombres entiers comme comme une suite arithmétique avec…
- \( {\color{ForestGreen}50} \) termes
- un premier terme \( {\color{RubineRed}1} \)
- un dernier terme \( {\color{NavyBlue}50} \)
…on remarque que la somme des termes est : \( \frac{{\color{ForestGreen}50}({\color{RubineRed}1} + {\color{NavyBlue}50})}{2} \)
Plus généralement, la somme des termes d'une suite arithmétique se calcule avec :
\[ \fbox{$ \text{Somme des termes} = \frac{ \text{Nombre de termes} \times (\text{1er terme} + \text{Dernier terme}) } {2} $} \]
D'où les formules suivantes :
| Si la suite est indexée à partir de 0 | Si la suite est indexée à partir de 1 |
|---|---|
|
|
| \[ \fbox{$ S = (n + 1) \frac{u\\_0 + u\\_n}{2} $} \] | \[ \fbox{$ S = n \times \frac{u\\_1 + u\\_n}{2} $} \] |
Une autre manière de voir les choses est de remarquer que tout terme (sauf le premier et le dernier) est la moyenne entre son précédent et son suivant.
La somme des termes de la suite est donc une simple moyenne entre le premier et le dernier multiplié par le nombre de termes :
Reconnaître une suite arithmétique
Pour reconnaître une suite arithmétique on calcule la raison \( r = u_{n + 1} - u_n \) :
- si \( r \) est une constante, la suite est arithmétique
- si \( r \) n'est pas une constante, la suite n'est pas arithmétique
Nombre d'éléments
Pour calculer un nombre d'éléments numérotés avec :
- \( G \) le plus grand nombre
- \( P \) le plus petit nombre
\[ \fbox{$ G - P + 1 $} \]
Exemple avec le nombre d'éléments numérotés de 45 à 92 (tickets, pages, etc.) : \( 92 - 45 + 1 = 48 \).
Joint