Temps de travail coordonné, productivité, intérêts

Temps de travail coordonné

Il s'agit de calculer le temps $ T $ mis par $ n $ personnes pour réaliser "ensemble" un travail.

Exemple

Pour faire un travail, une personne met 40 minutes et une autre met 30 minutes.

Combien de temps leur faut-il pour faire ce même travail ensemble noté $ T $ ?

On considère que :

une part du travail fait ensemble
=
une part du travail fait par la première personne
+
une part du travail fait par la seconde personne

\[\begin{align} \frac{1}{T} &= \frac{1}{40} + \frac{1}{30} \\ \frac{1}{T} &= \frac{7}{120} \\ \end{align}\]

On utilise ensuite le produit en croix pour trouver la valeur de $ T $ :

\[\begin{align} T &= \frac{120 \times 1}{7} \\ &\Leftrightarrow \\ T &\simeq 17 \text{minutes} \\ \end{align}\]

Formule

\[ \fbox{$ \frac{1}{T} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{T_k} = \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2} + \cdots + \frac{1}{T_n} $} \]

La formule se lit : $ \frac{1}{T} $ égal somme de $ \frac{1}{T} $ indice $ k $ pour $ k $ variant de $ 1 $ à $ n $.

$ T_1 $, $ T_2 $, $ \cdots $, $ T_n $ représentent les temps respectifs mis par les $ n $ personnes pour réaliser seules le travail.

Productivité

Production : quantité de biens ou services produits
Productivité : production réalisée au cours d'une période

Pour se souvenir de la formule permettant de calculer la production, il faut réaliser qu'une distance est en fait une quantité d'espace entre deux choses. Par extension, la formule de la distance devient :

\[ \fbox{$ \text{Production} = \text{Temps de travail} \times \text{Productivité} $} \]

À partir de la formule précédente, on trouve les deux suivantes :

\[ \fbox{$ \text{Productivité} = \frac{\text{Production}}{\text{Temps de travail}} $} \]

\[ \fbox{$ \text{Temps de travail} = \frac{\text{Production}}{\text{Productivité}} $} \]

Intérêts

Quand on calcule le capital final et les intérêts obtenus lors d'un investissement financier, il faut prendre en compte les données suivantes :

Notation	Définition
$ K_0 $	Capital initial
$ n $	Durée de placement (en années, mois, etc.)
$ K_n $	Capital final au bout de $ n $ périodes de placement
$ r $	Taux d'intérêt variable ou fixe exprimé en pourcentage

Intérêts simples

Dans ce type de placement :

le taux d'intérêt s'applique uniquement sur le capital initial $ K_0 $
le montant des intérêts :
- est toujours le même
- est versé à chaque période
les intérêts ne sont pas réinvestis et ne donnent pas lieu à des intérêts sur les intérêts

Calcul	Formule
Montant des intérêts simples	$ \fbox{$ K_0 \times r $} $
Valeur du capital final	$\begin{align} K_n &= K_0 + \big( n \times (K_0 \times r) \big) \\ &= \fbox{$ K_0 \times (1 + n \times r) $} \\ \end{align}$
Somme des intérêts de $ n $ périodes	$ n \times (K_0 \times r) $ ou $ \fbox{$ K_n - K_0 $} $

Intérêts composés

Dans ce type de placement, le montant des intérêts à la fin de chaque période est réinvesti en s'ajoutant au capital initial.

Il y a des intérêts sur les intérêts.

Calcul	Formule
Intérêts après une période	$ K_1 = K_0(1 + r) $
Intérêts après 2 périodes	$\begin{align} K_2 &= {\color{ForestGreen}K_1} + ({\color{ForestGreen}K_1} \times r) \\ &= ({\color{ForestGreen}K_0 (1 + r)} \times 1) + ({\color{ForestGreen}K_0 (1 + r)} \times r) \\ &= {\color{ForestGreen}K_0 (1 + r)}(1 + r) \\ &= K_0 (1 + r)^2 \\ \end{align}$
Intérêts après 3 périodes	$\begin{align} K_3 &= K_0 (1 + r) (1 + r) (1 + r) \\ &= K_0 (1 + r)^3 \\ \end{align}$
Intérêts après n périodes (valeur du capital final)	$ \fbox{$ K_n = K_0 (1 + r)^n $} $

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Notation	Définition
\( K_0 \)	Capital initial
\( n \)	Durée de placement (en années, mois, etc.)
\( K_n \)	Capital final au bout de \( n \) périodes de placement
\( r \)	Taux d'intérêt variable ou fixe exprimé en pourcentage

Calcul	Formule
Montant des intérêts simples	\( \fbox{$ K_0 \times r $} \)
Valeur du capital final	\(\begin{align} K_n &= K_0 + \big( n \times (K_0 \times r) \big) \\ &= \fbox{$ K_0 \times (1 + n \times r) $} \\ \end{align}\)
Somme des intérêts de \( n \) périodes	\( n \times (K_0 \times r) \) ou \( \fbox{$ K_n - K_0 $} \)

Calcul	Formule
Intérêts après une période	\( K_1 = K_0(1 + r) \)
Intérêts après 2 périodes	\(\begin{align} K_2 &= {\color{ForestGreen}K_1} + ({\color{ForestGreen}K_1} \times r) \\ &= ({\color{ForestGreen}K_0 (1 + r)} \times 1) + ({\color{ForestGreen}K_0 (1 + r)} \times r) \\ &= {\color{ForestGreen}K_0 (1 + r)}(1 + r) \\ &= K_0 (1 + r)^2 \\ \end{align}\)
Intérêts après 3 périodes	\(\begin{align} K_3 &= K_0 (1 + r) (1 + r) (1 + r) \\ &= K_0 (1 + r)^3 \\ \end{align}\)
Intérêts après n périodes (valeur du capital final)	\( \fbox{$ K_n = K_0 (1 + r)^n $} \)