Rappels d'arithmétique et d'algèbre

Parmi les principales branches des mathématiques, on trouve :

• l'arithmétique
  • la science des nombres
• l'algèbre
  • la théorie générale des opérations
  • qui permet de travailler avec des quantités connues ou inconnues

Ces deux branches s'entremêlent rapidement.

Système de numération

Un système de numération utilise des symboles (les chiffres) et des règles d'écriture précises pour :

• écrire les nombres
• nommer les nombres
• rendre sensible la notion abstraite de nombre

Base 10

Dans un système de numération positionnel, une base est le nombre de symboles utilisés pour représenter les nombres.

En base 10 (ou système décimal) :

• on a dix symboles nommés chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9
• on utilise les puissances de dix et leurs multiples

\[\begin{aligned} 372 &= 300 + 70 + 2 \\ &= 3 · 10^2 + 7 · 10 + 3 \\ \end{aligned}\]

Un entier \( z = a · 10^3 + b · 10^2 + c · 10^1 + d · 10^0 \) est abrégé \( abcd \).

Chiffres et nombres

Un nombre comprend un ou plusieurs chiffres :

1165 est un nombre à quatre chiffres.

Dix chiffres suffisent pour écrire une infinité de nombres.

Ensembles de nombres

Les nombres forment un ensemble classé en différents sous-ensembles :

Symbole	Nom	Définition	Origine probable des lettres
\( \mathbb{N} \)	Entiers naturels Natural numbers	Les nombres entiers positifs 0 inclus	\( \mathbb{N} \) pour Naturale (naturel en italien) Peano
\( \mathbb{Z} \)	Entiers relatifs Integers	Les nombres entiers positifs ou négatifs Raccourci pour "relatif à ℤéro"	\( \mathbb{Z} \) pour Zahl (nombre en allemand) Dedekind
\( \mathbb{D} \)	Décimaux	Tout nombre avec une suite 𝔻écimale finie Car ils peuvent s'écrire sous forme d'un quotient entre un relatif et une puissance de 10	Groupe Bourbaki
\( \mathbb{Q} \)	Rationnels Rational	Ensemble des fractions positives ou négatives Rationnels, du latin Ratio qui signifie rapport Un nombre est rationnel si et seulement si sa partie décimale possède un motif qui se répète indéfiniment	\( \mathbb{Q} \) pour quotiente (quotient en italien) Peano
\( \mathbb{Q'} \)	Irrationnels Irrational	Nombre qui ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction simple
\( \mathbb{R} \)	Réels Real	Rationnels + irrationnels : tous les nombres qui existent, même s'ils ne peuvent pas s'écrire avec des chiffres Les rationnels et les irrationnels ne contiennent aucun élément commun, mais, ensemble, ils forment l'ensemble des nombres ℝéels Le nom "Réels" décrit leur capacité à décrire le monde (longueur, surface, volume, durée d'un phénomène…)	\( \mathbb{R} \) pour Real (réel en allemand) Cantor

Notes :

• l'ensemble des décimaux \( \mathbb{D} \) n'est pas enseigné chez les anglo-saxons
• voir le PDF "Ensembles de nombres" pour une analyse poussée

Chaque ensemble appartient à l'ensemble suivant (relation d'inclusion) :

\[ \fbox{$ \mathbb{N} \in \mathbb{Z} \in \mathbb{D} \in \mathbb{Q} \in \mathbb{R} $} \]

Moyen mnémotechnique pour se souvenir de l'ordre : ℕeℤ Du ℚ ℝé (nez du curé).

Opérations de base

Les opérations de base sont :

• l'addition, ou la réunion de deux quantités
• la soustraction, ou l'exclusion d'une quantité d'une autre
• la multiplication, ou le fait de prendre un certain nombre de fois une quantité
• la division, ou la fabrication de parts égales

La division

Complémentarité

L'addition et la soustraction sont deux opérations complémentaires.

De même que la multiplication et la division.

Lois de l'arithmétique des entiers

Les opérations de base sont gouvernées par des lois :

Loi	Définition	Explication
\( {\color{ForestGreen}a + b = b + a} \)	Commutativité de l'addition	Les termes peuvent être commutés ou interchangés, sans modification du résultat de l'opération
\( {\color{ForestGreen}ab = ba} \)	Commutativité de la multiplication
\( {\color{crimson}a + (b + c) = (a + b) + c} \)	Associativité de l'addition	Les termes peuvent être associés ou groupés de différentes façons, sans modification du résultat de l'opération
\( {\color{crimson}a(bc) = (ab)c} \)	Associativité de la multiplication
\( {\color{navy}a(b + c) = ab + ac} \)	Distributivité de la multiplication sur l'addition ou la soustraction	La distributivité de la multiplication sur l'addition (ou la soustraction) est une opération qui permet de passer d'un produit de sommes (ou de différences) à une somme (ou une différence) de produits

Un modèle visuel concret aide à comprendre sur quelles bases intuitives reposent ces lois :

En manipulant mentalement le schéma ci-dessus, on peut facilement comprendre pourquoi la multiplication des naturels est commutative : peu importe l'ordre des facteurs, il y conservation du produit.

Les axiomes de Peano permettent de démontrer plus formellement ces lois.

Définition d'un axiome :

Vérité indémontrable mais évidente pour quiconque en comprend le sens (principe premier), et considérée comme universelle.

Égalités

Les égalités figurent parmi les notions communes d'Euclide :

• si l'on ajoute des grandeurs égales à des grandeurs égales, les touts demeurent égaux
• si l'on retranche des grandeurs égales à des grandeurs égales, les restes demeurent égaux
• des grandeurs qui sont doubles d'une même grandeur sont égales entre elles
• des grandeurs qui sont les moitiés d'une même grandeur sont égales entre elles

En d'autres termes :

\[ \fbox{$ \textrm{si} \quad {\color{ForestGreen}a = b} \quad \textrm{alors} \quad {\color{ForestGreen}a + x = b + x} $} \]

\[ \fbox{$ \textrm{si} \quad {\color{ForestGreen}a = b} \quad \textrm{alors} \quad {\color{ForestGreen}a - x = b - x} $} \]

\[ \fbox{$ \textrm{si} \quad {\color{ForestGreen}a = b} \quad \textrm{alors} \quad {\color{ForestGreen}a \times x = b \times x} $} \]

\[ \fbox{$ \textrm{si} \quad {\color{ForestGreen}a = b} \quad \textrm{alors} \quad {\color{ForestGreen}a \div x = b \div x} $} \]

Ces axiomes sont utiles dans les résolutions d'équations.

Priorité des opérations

La priorité des opérations est une convention qui donne l'ordre dans lequel effectuer les calculs d'une chaine d'opérations :

1. les parenthèses
2. les exposants
3. les multiplications et les divisions (de la gauche vers la droite)
4. les additions et les soustractions (de la gauche vers la droite)