Statistiques

Faire des statistiques c'est rassembler des données pour les exploiter.

Vocabulaire

Terme	Définition
Données	Les mesures recueillies
Population	Ensemble d'objets ou d'individus faisant l'objet d'une étude statistique
Effectif total	Nombre total d'objets ou d'individus
Effectif partiel (ou sous-population)	Partie de la population considérée, généralement déterminée par un caractère
Caractère	Propriété étudiée sur chaque objet ou individu
Caractère quantitatif	Caractère qui ne prend que des valeurs numériques (poids, temps passé au téléphone, etc.)
Caractère qualitatif	Caractère avec des valeurs qui ne sont pas des nombres (couleur des yeux, marque de la voiture, etc.)

Série statistique

Une série statistique est une liste de mesures contenant une série de caractères et leurs effectifs.

Exemple pour les notes de 25 candidats à un examen :

Notes (Caractère quantitatif)	3	7	8	9	10	11	12	13	15	16	18
Effectifs (Nombre de candidats ayant obtenu cette note)	1	2	5	5	1	2	3	2	2	1	1

Effectif cumulé

L'effectif cumulé s'obtient en ajoutant les effectifs de toutes les valeurs inférieures ou égales à celle de référence :

Notes	3	7	8	9	10	11	12	13	15	16	18
Effectifs	1	2	5	5	1	2	3	2	2	1	1
Effectifs cumulés (croissants)	1	3	8	13	14	16	19	21	23	24	25

Fréquence

Une fréquence est une proportion d'observations :

\[ \fbox{$ \text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif}\relax}{\text{Effectif total}\relax} $} \]

Notes	3	7	8	9	10	11	12	13	15	16	18
Effectifs	1	2	5	5	1	2	3	2	2	1	1
Fréquence	4 %	8 %	20 %	20 %	4 %	8 %	12 %	8 %	8 %	4 %	4 %

Médiane

La médiane est un nombre qui permet de diviser une série statistique en deux sous-groupes de même effectif.

Pour la calculer :

1. classer les valeurs dans l'ordre croissant
2. si le nombre des valeurs :
   • est impair :
     • alors la médiane est la valeur du milieu :
     • \( 4, 5, 5, 8, {\large{\relax{\color{ForestGreen}8}\relax}\relax}, 8, 9, 12, 13 \to {\color{crimson}8} \)
   • est pair :
     • alors la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales
     • \( 1, 2, {\large{\relax{\color{ForestGreen}4}\relax}\relax}, {\large{\relax{\color{ForestGreen}8}\relax}\relax}, 21, 27 \to \frac{\relax{\color{ForestGreen}4 + 8}\relax}{2} = {\color{crimson}6} \)

Quartiles et déciles

Les quartiles d'une série statistique :

• sont un triplet de réels \( Q_1 \thinspace ; \thinspace Q_2 ; \thinspace Q_3 \)
• qui la sépare en quatre groupes de même effectif

Les déciles d'une série statistique :

• sont un 9-uplet de réels \( D_1 \thinspace ; \thinspace D_2 ; \cdots ; \thinspace D_9 \)
• qui la sépare en dix groupes de même effectif

Si \( X \) est une série statistique :

\[ \fbox{$ Q2 = D5 = \text{Mediane}(X) $} \]

Moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique d'une liste est la somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs :

\[ \fbox{$ \text{Moyenne arithmétique} = \frac{\text{somme des valeurs}\relax}{\text{nombre de valeurs}\relax} $} \]

On utilise un trait suscrit pour représenter la moyenne \( \bar{x} \) :

\[ \fbox{$ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i = {\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}\relax} $} \]

La formule s'écrit à l'aide du symbole ∑ (sigma) et se lit :

• somme de \( x \) indice \( i \)
• pour \( i \) variant de \( 1 \) à \( n \)
• divisé par \( n \)

Moyenne arithmétique ou médiane

En règle générale :

• tout va bien si la moyenne arithmétique et la médiane donnent une estimation du centre similaire
• sinon, il faut approfondir l'analyse

	Moyenne arithmétique	Médiane
Sensible aux valeurs extrêmes du caractère	Oui	Non
Quand l'utiliser ?	Pour des distributions normales	Pour des distributions asymétriques
Valeur prise en compte	Toutes les valeurs	Uniquement la valeur centrale

Exemple pour une distribution asymétrique :

	Assistants	Commerciaux	PDG
Salaire (en €)	1000	1200	20000
Effectifs	6	4	1
Moyenne	\( \frac{(1000 \times 6) + (1200 \times 4) + 20000}{6 + 4 + 1} = {\color{ForestGreen}2800} \) €
Médiane	\( {\small{1000, 1000, 1000, 1000, 1000,}\relax} {\large{1000}\relax} {,\small{1200, 1200, 1200, 1200, 20000}\relax} \to {\color{ForestGreen}1000} \) €

Moyenne pondérée

Pondérer veut dire assigner des poids.

La moyenne pondérée d'une série :

• est la moyenne des valeurs
• affectées de poids (ou coefficients de pondération)

Pour la calculer :

1. multiplier chaque valeur par son coefficient de pondération
2. additionner les produits obtenus
3. diviser par la somme des coefficient de pondération

\[ \fbox{$ \text{Moyenne pondérée} = \frac{\sum \text{valeur} \times \text{coefficient}\relax}{\sum \text{coefficient}\relax} $} \]

Formule mathématique avec quotient de la somme pondérée des \( x_i \) par la somme des poids \( p_i \) :

\[ \fbox{$ \bar{x} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n x_i p_i}{\sum\limits_{i=1}^n p_i} = {\frac{x_1 p_i + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n}{p_i + p_2 + \cdots + p_n}\relax} $} \]

La variation des poids traduit une importance variable des observations.

Moyenne harmonique

Imaginons effectuer un voyage dont :

• l'aller
  • couvre une distance \( d \)
  • parcourue à la vitesse \( v_1 \)
  • pendant un temps \( t_1 \)
• le retour
  • couvre la même distance \( d \)
  • parcourue à la vitesse \( v_2 \)
  • pendant un temps \( t_2 \)

On recherche la vitesse moyenne \( \bar{v} \) de l'aller-retour :

Pour cela, on déduit un système d'équation :

\[\begin{cases} v_1 \times t_1 &= d \\ v_2 \times t_2 &= d \\ \bar{v}(t_1 + t_2) &= 2d \end{cases}\]

En extrayant \( t_1 \) et \( t_2 \) des deux premières équations du système, on modifie la troisième équation pour trouver la vitesse moyenne de l'aller-retour :

\[\begin{aligned} \bar{v}( \frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2} ) &= 2d \\ \bar{v} &= \frac{2d}{ \frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2} } \\ \bar{v} &= \frac{2\cancel{d}\relax}{ \cancel{d}(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}) } \\ \bar{v} &= \frac{2}{ \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} } \\ \end{aligned}\]

C'est cette vitesse qui aurait permis d'accomplir la distance équivalente \( 2d \) pendant la même durée totale \( t_1 + t_2 \).

On remarque que l'inverse de la vitesse moyenne est la moyenne arithmétique des vitesses inverses :

\[ \frac{1}{\bar{v}\relax} = \frac{1}{2}(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}) \]

Plus généralement, la moyenne harmonique est l'inverse de la moyenne arithmétique des inverses des valeurs.

Autrement dit, il s'agit de quelques étapes simples :

1. prendre l'inverse de tous les nombres
2. trouver la moyenne arithmétique de ces inverses
3. prendre l'inverse de ce nombre

\[ \fbox{$ H = \left( \frac{\sum\limits_{i=1}^n x_i^{-1}\relax}{n} \right)^{-1} = \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{x_i}\relax} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}\relax} $} \]

Elle est utilisée avec les vitesses, en électronique ou en finance.

Technique du barycentre

Le mot barycentre :

• vient du mot centre et du préfixe báros (grec ancien pour poids), littéralement "centre des poids"
• désigne le centre de gravité (point par lequel un corps tient en équilibre)

On parle de technique du barycentre :

• notamment dans les concours comme le Tage Mage
• en référence à l'idée d'équilibre entre plusieurs poids

Cette technique permet de résoudre des problèmes comme :

Une entreprise compte 60 cadres :

• une partie gagne 100 € par mois
• l'autre partie gagne 75 € par mois
• la moyenne des salaires est de 80 € par mois

Combien de personnes gagnent 75 € par mois ?

Méthode classique : système d'équations

1. poser :
   • x le nombre de personnes gagnant 100 € par mois
   • y le nombre de personnes gagnant 75 € par mois
2. déduire un système d'équation :
   • \(\begin{cases} x + y &= 60 \\ 80 &= \frac{100x + 75y}{60} \end{cases}\)
3. résoudre le système d'équation

Méthode plus rapide : technique du barycentre

• faire un schéma récapitulatif :

  ----|-----|--------------------|----
      75    80                  100
         (moyenne)
  

• on remarque que 80 est "attiré" vers 75 donc il y a plus de personnes gagnant 75 € par mois

  • c'est le même principe que sur le schéma de la balance

• on calcule la proportion d'une des parties par rapport au tout :

  • par exemple celle de la partie basse
  • \( \frac{\text{moyenne générale} - \text{moyenne basse}\relax}{\text{moyenne haute} - \text{moyenne basse}\relax} = \frac{80 - 75}{100 - 75} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} \)

       (80 - 75)
           5
        <----->
    ----|-----|--------------------|----
        75    80                  100
        <-------------------------->
                    25
                (100 - 75)
    

• on multiplie cette proportion par l'effectif total :

  • \( \frac{1}{5} \times = 60 = 12 \)
  • \( 12 \) est donc le nombre de personnes gagnant 100 € par mois
  • car par logique on sait que sur les 60 personnes il y en a moins qui gagnent 100 € par mois

• le nombre de personnes gagnant 75 € par mois est alors :

  • \( 60 - 12 = 48 \)