Suites arithmétiques
Définition
Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle :
- chaque nombre permet d'obtenir le suivant
- en lui ajoutant une constante appelée raison
Conventions
- \( u_n \) est le terme (ou nombre) de rang (ou d'indice) \( n \)
- \( r \) est la raison
- raison est une traduction du latin ratio dans le sens de rapport
- son utilisation dans le cas d'une suite arithmétique ne semble pas bien se justifier car il y désigne la différence constante entre deux termes qui se suivent plutôt qu'un rapport
Valeur d'un terme
Dans la suite des multiples non nuls de trois \( 3 \ ; \ 6 \ ; \ 9 \ ; \ 12 \ ; \ 15 \) etc. :
- les termes de la suite sont :
- \( u_0 = 3 \)
- \( u_1 = 6 \)
- \( u_2 = 9 \)
- etc.
- pour obtenir les termes :
- \( u_1 = u_0 + 3 \)
- \( u_2 = u_1 + 3 \)
- \( u_3 = u_2 + 3 \)
- etc.
- la raison est \( r = 3 \)
Trouver la valeur de \( u_5 \) est facile (\( u_5 = 18 \)), mais trouver la valeur de \( u_{3249} \) est plus long…
Il faut trouver une relation :
\[\begin{align} u_{1} &= u_0 + 3 \\ \\ u_{\color{DarkGoldenrod}2} &= u_1 + 3 \\ &= u_0 + 3 + 3 \\ &= u_0 + (3 \times {\color{DarkGoldenrod}2}) \\ \\ u_{\color{DarkGoldenrod}3} &= u_2 + 3 \\ &= u_0 + (3 \times 2) + 3 \\ &= u_0 + (3 \times {\color{DarkGoldenrod}3}) \\ \\ u_{\color{DarkGoldenrod}4} &= \cdots \\ \end{align}\]
On en déduit \( u_n = u_0 + (3 \times n) \), d'où \( u_{3249} = 3 + (3 \times 3249) = 9750 \).
Plus généralement :
\[ \fbox{$ \text{Valeur du terme d'indice n} = \text{1er terme} + (\text{Indice n} \times \text{Raison}) $} \]
\[ \fbox{$ u_n = u_0 + n \times r $} \]
Somme des termes
La somme de Gauss est à l'origine de la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique.
Pour calculer la somme de nombres entiers consécutifs, par exemple de 1 à 50 :
| Écrire les nombres une fois dans un sens | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … | 48 | 49 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Écrire les nombres une fois dans le sens inverse | 50 | 49 | 48 | 47 | 46 | … | 3 | 2 | 1 |
| Puis effectuer la somme des deux lignes | 51 | 51 | 51 | 51 | 51 | … | 51 | 51 | 51 |
En déduire :
- que la somme de la dernière ligne vaut \( 50 \times 51 \)
- or cette somme vaut deux fois celle des cinquante nombres (les deux premières lignes)
- donc la somme des cinquante nombres vaut \( \frac{50 \times 51}{2} \)
D'où la formule de la somme des \( n \) premiers nombres entiers consécutifs :
\[ \fbox{$ 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2} $} \]
Une autre façon de comprendre \( n(n + 1) \) est de représenter graphiquement un doublement de somme :
- par exemple la somme des nombres de 1 à 7
- une fois en vert dans un sens
- une fois en rouge dans le sens inverse
Si on applique la formule à la somme des termes de la suite de 1 à 50 :
\[ \text{Somme des termes} = \frac{{\color{ForestGreen}50}({\color{RubineRed}1} + {\color{NavyBlue}50})}{2} \]
On constate que plus généralement :
\[ \fbox{$ \text{Somme des termes} = \frac{ {\color{ForestGreen}\text{Nombre de termes}} \times ({\color{RubineRed}\text{1er terme}} + {\color{NavyBlue}\text{Dernier terme}}) } {2} $} \]
Cela permet de prolonger la formule à la somme des termes d'une suite arithmétique, sans que le premier terme soit 1.
Attention au décalage si la suite commence à l'indice zéro :
| Suite indexée à partir de 0 | Suite indexée à partir de 1 | |
|---|---|---|
| Formule | \[ \fbox{$ \sum_{n=0}^{n} u\\_n = (n + 1) \frac{u\\_0 + u\\_n}{2} $} \] | \[ \fbox{$ \sum_{n=1}^{n} u\\_n = n \times \frac{u\\_1 + u\\_n}{2} $} \] |
Moyenne des extrêmes
On peut aussi remarquer que la somme des termes de la suite est une simple moyenne entre le premier et le dernier multiplié par le nombre de termes :
\[ \fbox{$ \text{S} = (\text{Nombre de termes}) \times (\text{Moyenne des termes extrêmes}) $} \]
En effet, tout terme est la moyenne entre son précédent et son suivant (sauf le premier et le dernier) :
Reconnaître une suite arithmétique
Pour reconnaître une suite arithmétique :
- on calcule la raison \( r = u_{n + 1} - u_n \)
- si \( r \) est une constante, la suite est arithmétique
- si \( r \) n'est pas une constante, la suite n'est pas arithmétique
Nombre d'éléments
Pour calculer un nombre d'éléments numérotés avec :
- \( G \) le plus grand nombre
- \( P \) le plus petit nombre
\[ \fbox{$ G - P + 1 $} \]
Exemple avec le nombre d'éléments numérotés de 45 à 92 (tickets, pages, etc.) : \( 92 - 45 + 1 = 48 \).
Joint