Temps de travail coordonné, productivité, intérêts

Temps de travail coordonné

Il s'agit de calculer :

Pour faire un travail :

Combien de temps leur faut-il pour faire ce même travail noté $ T $ ensemble ?

On considère que :

Travail commun		Travail individuel
une part du travail fait ensemble	=	une part du travail fait par la 1ère personne	+	une part du travail fait par la 2nde personne

\[ \frac{1}{T} = \frac{1}{40} + \frac{1}{30} = \frac{7}{120} \]

Le produit en croix permet de trouver la valeur de $ T $ :

\[ T = \frac{120 \times 1}{7} \simeq 17 \text{minutes} \]

\[ \fbox{$ \frac{1}{T} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{T_k} = \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2} + \cdots + \frac{1}{T_n} $} \]

La formule se lit : $ \frac{1}{T} $ égal somme de $ \frac{1}{T} $ indice $ k $ pour $ k $ variant de $ 1 $ à $ n $.

$ T_1 $, $ T_2 $, $ \cdots $, $ T_n $ représentent les temps respectifs mis par les $ n $ personnes pour réaliser seules le travail.

Terme	Définition
Production	Quantité de biens ou services produits
Productivité	Production réalisée par unité de temps

En réalisant qu'une distance :

\[ \fbox{$ \text{Production} = \text{Temps de travail} \times \text{Productivité} $} \]

À partir de la formule précédente, on trouve les deux suivantes :

\[ \fbox{$ \text{Productivité} = \frac{\text{Production}}{\text{Temps de travail}} $} \]

\[ \fbox{$ \text{Temps de travail} = \frac{\text{Production}}{\text{Productivité}} $} \]

Quand on calcule le capital final et les intérêts obtenus lors d'un investissement financier, il faut prendre en compte les données suivantes :

Notation	Définition
$ K_0 $	Capital initial
$ n $	Durée de placement (en années, mois, etc.)
$ K_n $	Capital final au bout de $ n $ périodes de placement
$ r $	Taux d'intérêt (variable ou fixe) exprimé en pourcentage

Dans ce type de placement :

Calcul	Formule
Montant des intérêts simples	$ \fbox{$ K_0 \times r $} $
Valeur du capital final	$\begin{align} K_n &= K_0 + \big( n \times (K_0 \times r) \big) \\ &= \fbox{$ K_0 \times (1 + n \times r) $} \\ \end{align}$
Somme des intérêts de $ n $ périodes	$ n \times (K_0 \times r) $ ou $ \fbox{$ K_n - K_0 $} $

Dans ce type de placement :

Calcul	Formule
Intérêts après une période	$\begin{align} K_1 &= K_0 + (K_0 \times r) \\ &= K_0(1 + r) \\ \end{align}$
Intérêts après 2 périodes	$\begin{align} K_2 &= {\color{ForestGreen}K_1} + ({\color{ForestGreen}K_1} \times r) \\ &= ({\color{ForestGreen}K_0 (1 + r)} \times 1) + ({\color{ForestGreen}K_0 (1 + r)} \times r) \\ &= {\color{ForestGreen}K_0 (1 + r)}(1 + r) \\ &= K_0 (1 + r)^2 \\ \end{align}$
Intérêts après 3 périodes	$\begin{align} K_3 &= K_0 (1 + r) (1 + r) (1 + r) \\ &= K_0 (1 + r)^3 \\ \end{align}$
Intérêts après n périodes (valeur du capital final)	$ \fbox{$ K_n = K_0 (1 + r)^n $} $

Notation	Définition
\( K_0 \)	Capital initial
\( n \)	Durée de placement (en années, mois, etc.)
\( K_n \)	Capital final au bout de \( n \) périodes de placement
\( r \)	Taux d'intérêt (variable ou fixe) exprimé en pourcentage

Calcul	Formule
Montant des intérêts simples	\( \fbox{$ K_0 \times r $} \)
Valeur du capital final	\(\begin{align} K_n &= K_0 + \big( n \times (K_0 \times r) \big) \\ &= \fbox{$ K_0 \times (1 + n \times r) $} \\ \end{align}\)
Somme des intérêts de \( n \) périodes	\( n \times (K_0 \times r) \) ou \( \fbox{$ K_n - K_0 $} \)

Calcul	Formule
Intérêts après une période	\(\begin{align} K_1 &= K_0 + (K_0 \times r) \\ &= K_0(1 + r) \\ \end{align}\)
Intérêts après 2 périodes	\(\begin{align} K_2 &= {\color{ForestGreen}K_1} + ({\color{ForestGreen}K_1} \times r) \\ &= ({\color{ForestGreen}K_0 (1 + r)} \times 1) + ({\color{ForestGreen}K_0 (1 + r)} \times r) \\ &= {\color{ForestGreen}K_0 (1 + r)}(1 + r) \\ &= K_0 (1 + r)^2 \\ \end{align}\)
Intérêts après 3 périodes	\(\begin{align} K_3 &= K_0 (1 + r) (1 + r) (1 + r) \\ &= K_0 (1 + r)^3 \\ \end{align}\)
Intérêts après n périodes (valeur du capital final)	\( \fbox{$ K_n = K_0 (1 + r)^n $} \)