Géométrie
La géométrie est la science étudiant les formes et leurs mesures.
Le mot géométrie vient du grec et signifie "reporter la mesure de la terre".
Vocabulaire
- Point
-
- Un point désigne un emplacement.
- Il n'a ni longueur, ni largeur, ni épaisseur.
- C'est le plus petit élément constitutif de l'espace géométrique.
- Deux points sont confondus s'ils occupent le même emplacement, sinon distincts.
- Droite
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- Désigne une ligne constituée d'une infinité de points alignés.
- Elle se prolonge indéfiniment dans les deux sens.
- Demi-droite
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- Droite qui se prolonge indéfiniment dans un seul sens.
- Elle possède une extrémité nommée origine.
- Segment
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Partie d'une droite limitée par deux points et mesurable.
- Parallèle
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Se dit de droites qui ne se rencontrent pas, dont les points de chacune sont toujours équidistants.
- Perpendiculaire
-
Droite orthogonale à une autre (qui fait un angle droit) tout en lui étant sécante (qui la coupe).
Le mot perpendiculaire vient du latin perpendiculum "fil à plomb" (prenant toujours une direction verticale).
Différence entre perpendiculaire et orthogonal :
Dans un plan en 2D, être orthogonal ou perpendiculaire a la même signification.
Dans un espace en 3D : les droites peuvent être orthogonales (faire un angle droit) sans être perpendiculaires (sans se couper).
- Médiatrice
-
Droite coupant perpendiculairement un segment en son milieu.
Du latin mediator de mediare "être au milieu".
- Bissectrice
-
Droite coupant un angle en 2 angles égaux.
Du latin bi "deux fois" et sector "celui qui coupe".
- Figure géométrique
-
Ensemble de points qui représente un objet géométrique.
- Plan
-
Surface plate dans laquelle peuvent s'inscrire des figures géométriques.
- Angle
-
- Portion de plan délimité par deux droites sécantes en un point.
- Ce point d'intersection est nommé sommet de l'angle.
Figures
Cercles
Un cercle :
- est une courbe plane fermée
- constituée de points situés à égale distance \( {\color{RubineRed}r} \) (rayon) d'un point nommé centre
Figure | Définition |
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Cercle
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Triangles
Un triangle est une figure à 3 angles (tri-angles) et 3 côtés.
Figure | Définition |
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Triangle rectangle
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Triangle isocèle
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Triangle équilatéral
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Quadrilatères
Un quadrilatère est une figure à 4 angles et 4 côtés.
La somme des angles internes d'un quadrilatère vaut 360°.
Figure | Définition |
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Rectangle
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Carré
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Parallélogramme
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Trapèze
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Losange
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Polygones réguliers
Le mot polygone vient du grec polýgônos composé de :
- polús "nombreux"
- et de gônia "angle"
Un polygone :
- est une figure qui a plusieurs angles et plusieurs côtés
- on parle de polygone régulier quand les côtés sont égaux
Figure | Définition |
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Pentagone
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Hexagone
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Heptagone
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Octogone
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Angles intérieurs
Angles intérieurs d'un triangle équilatéral
Pour mesurer les angles intérieurs d'un triangle équilatéral, on imagine que l'on marche autour de lui dans le sens des flèches :
- du point 1 au point 2
- puis du point 2 au point 3
- et on revient au point 1
Étant revenu au point 1 (le point d'origine) :
- on a fait le tour complet du triangle en trois virages
- le total des virages est donc de \( 360° \)
- puisque chaque tour d'un sommet du triangle équilatéral est egal
- alors chaque "virage" est égal à \( {\color{RubineRed}360° \div 3 = 120°} \)
Or le virage n'est pas l'angle intérieur du triangle que l'on cherche à mesurer, mais son angle supplémentaire.
Donc chaque angle intérieur est égal à \( {\color{ForestGreen}180° - 120° = 60°} \).
Angles intérieurs des polygones réguliers
Imaginons maintenant marcher-et-tourner autour d'un pentagone régulier :
- le total des tours est égal à \( 360° \)
- il y a cinq tours égaux, donc chaque "virage" est égal à \( 360° \div 5 = 72° \)
- donc chaque angle intérieur est égal à \( 180° - 72° = 108° \)
En généralisant pour un polygone régulier de \( n \) côtés :
- le total des tours est égal à \( 360° \)
- donc chaque "virage" est égal à \( 360° ÷ n \)
- donc chaque angle intérieur est égal à \( \fbox{$ 180° - (\frac{360°}{n}) $} \)
On comprend pourquoi 360° est un bon nombre pour mesurer un tour complet : il a beaucoup de diviseurs entiers.
Angles intérieurs d'un triangle
Imaginons maintenant marcher-et-tourner autour d'un triangle non équilatéral.
C'est plus compliqué parce que les virages ne sont pas égaux.
On sait que :
- le total des tours (\( {\color{RubineRed}t_1} \), \( {\color{RubineRed}t_2} \), \( {\color{RubineRed}t_3} \)) plus le total des angles intérieurs (\( {\color{ForestGreen}a_1} \), \( {\color{ForestGreen}a_2} \), \( {\color{ForestGreen}a_3} \)) est toujours égal à \( 3 \times 180° = 540° \)
- le total des tours (\( {\color{RubineRed}t_1} \), \( {\color{RubineRed}t_2} \), \( {\color{RubineRed}t_3} \)) est égal à \( 360° \) (soit un tour complet du triangle)
D'où :
\[\begin{align} ({\color{RubineRed}t_1 + t_2 + t_3}) + ({\color{ForestGreen}a_1 + a_2 + a_3}) &= 540° \\ {\color{RubineRed}360°} + {\color{ForestGreen}a_1 + a_2 + a_3} &= 540° \\ {\color{ForestGreen}a_1 + a_2 + a_3} &= 540° - {\color{RubineRed}360°} \\ {\color{ForestGreen}a_1 + a_2 + a_3} &= 180° \\ \end{align}\]
La somme des angles intérieurs d'un triangle est égale à 180°.
Une autre manière de calculer les angles intérieurs d'un triangle utilise les angles alternes-internes :
Somme des angles d'un polygone
Figure | Définition |
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Somme des angles extérieurs
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Somme des angles intérieurs
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Périmètres et aires des figures planes
Un périmètre noté \( P \) :
- est la mesure du contour d'une figure
- vient du grec perimetros, de peri "autour" et metron "mesure"
Une aire notée \( A \) :
- est la mesure de la surface d'une figure
- se calcule en unités carrées
\( \pi \) :
- est la première lettre du mot grec περίμετρος (perimetros)
- est une constante telle que \( P = \pi \times D \) pour tout cercle de diamètre \( D \) et de périmètre \( P \)
- a une valeur approchée de 3,141592653589793
Figure | Périmètre | Aire |
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Carré de côté \( {\color{ForestGreen}c} \)
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Rectangle de longueur \( {\color{NavyBlue}L} \) et largeur \( {\color{RubineRed}l} \)
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Triangle de base \( {\color{NavyBlue}b} \) et hauteur \( h \)
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Parallélogramme de base \( {\color{NavyBlue}b} \) et hauteur \( h \)
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Trapèze de grande base \( {\color{Goldenrod}B} \) et de petite base \( {\color{NavyBlue}b} \)
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Losange de côté \( {\color{ForestGreen}c} \), de petite diagonale \( {\color{NavyBlue}d} \) et de grande diagonale \( {\color{RubineRed}D} \)
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Cercle de rayon \( {\color{RubineRed}r} \)
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Portion de cercle de rayon \( {\color{RubineRed}r} \) et d'angle \( {\color{NavyBlue}a} \)
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Propriété : la longueur d'un arc de cercle est proportionnelle à la mesure de l'angle \( {\color{NavyBlue}a} \) qui l'intercepte | |
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Aires et volumes des solides
Les aires :
- l'aire de base notée \( A_B \) est la surface occupée par la figure servant de base
- l'aire latérale notée \( A_L \) est la surface occupée par les figures qui ne servent pas de base ni de sommet
- l'aire totale notée \( A_T \) est la surface recouverte par toutes les figures
Le volume noté \( V \) :
- est la mesure de l'espace occupée par un solide (dans un espace à 3 dimensions)
- se calcule en unités cubes
Solide | Aire | Volume |
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Parallélépipède rectangle
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Cube
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Cylindre
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Cône
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Sphère
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Théorème de Pythagore
Un triangle est un triangle rectangle si et seulement si le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés :
\[ \fbox{$ a^2 + b^2 = c^2 $} \]
Preuve sans mots du théorème de Pythagore.
Ce théorème permet d'être sûr qu'un triangle est rectangle et de calculer la longueur d'un côté.
Théorème de Thales (ou théorème d'intersection)
Si deux droites parallèles coupent deux droites sécantes alors, elles déterminent deux triangles dont les côtés correspondants ont des longueurs proportionnelles.
Si \( D \in (A,C), E \in (A,B) \) et que \( DE \parallel CB \), alors :
\[ \fbox{$ \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} = \frac{DE}{CB} $} \]
Ce théorème permet de calculer des longueurs et de montrer que des droites sont parallèles.
Propriétés géométriques importantes
Propriété géométrique | Explication |
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Angles alternes-internes et alternes-externes
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Angles opposés par le sommet
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Triangle rectangle inscrit dans un cercle
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Hauteur et arrête d'un cube
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Triangle rectangle = 1/2 rectangle
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Triangle équilatéral
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Somme des angles intérieurs d'un hexagone régulier
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Triangle isocèle ou équilatéral
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Calcul du rayon du cercle inscrit dans un triangle rectangle
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