Vitesse

La vitesse d'un objet en mouvement est la quantité de distance qu'il parcourt par unité de temps.

\[ \fbox{$ v = \frac{d}{t} $} \]

Ce ratio permet :

de comparer des vitesses
pour savoir ce qui va plus ou moins vite

Principales unités de vitesse

La vitesse est exprimée avec les unités dérivées du Système international :

mètre par seconde m/s
kilomètre par heure km/h

Vitesse, temps et distance

Il y a 3 formules :

Vitesse $ \fbox{$ v = \frac{d}{t} $} $
Temps $ \fbox{$ t = \frac{d}{v} $} $
Distance $ \fbox{$ d = t \times v $} $

Un moyen de retenir est de remarquer que la formule de la distance respecte l'ordre des lettres dans l'alphabet :

\[ d = t \times v \]

À partir de là, on retrouve :

la vitesse :

\[\begin{align} d &= t \times v \\ \frac{d}{{\color{RubineRed}t}} &= \frac{\cancel{t} \times v}{{\color{RubineRed}\cancel{t}}} \\ v &= \frac{d}{t} \\ \end{align}\]
le temps :

\[\begin{align} d &= t \times v \\ \frac{d}{{\color{RubineRed}v}} &= \frac{t \times \cancel{v}}{{\color{RubineRed}\cancel{v}}} \\ t &= \frac{d}{v} \\ \end{align}\]

Vitesse moyenne

Vitesse et vitesse moyenne sont des concepts différents :

la vitesse est une mesure ponctuelle
la vitesse moyenne mesure la vitesse sur la totalité d'un trajet
- car on considère qu'elle n'est pas constante sur l'ensemble du trajet
- exemple : la vitesse varie pendant la phase de démarrage

\[ \fbox{$ \text{Vitesse moyenne} = \frac{\text{Distance totale}}{\text{Temps total}} $} \]

Conversions

Unités distances

Utiliser les puissances de dix qui correspondent aux préfixes :

\[ 340 m/s = \frac{340 \thinspace m}{1 \thinspace s} = \frac{340 \times 10^{-3} \thinspace km}{1 \thinspace s} = \frac{0,34 \thinspace km}{1 \thinspace s} = 0,34 km/s \]

Unités temps

dans 1 jour il y a 24 heures
dans 1 heure il y a 60 minutes
dans 1 minute il y a 60 secondes

3,6 pour passer des `m/s` aux `km/h`

Pour passer des km/h aux m/s :

\[\begin{align} 1 km/h &= \frac{1 \thinspace km}{1 \thinspace h} \\ &= \frac{1 \times 10^3 \thinspace m}{1 \thinspace h \times 60 \thinspace min \times 60 \thinspace s} \\ &= \frac{1000 \thinspace m}{3600 \thinspace s} \\ &= \frac{1 \thinspace m}{3,6 \thinspace s} \\ \end{align}\]

De là :

\[\begin{align} 1 km/h &= \frac{1 \thinspace m}{3,6 \thinspace s} \\ {\color{RubineRed}3,6} \times 1 km/h &= \frac{1 \thinspace m}{3,6 \thinspace s} \times {\color{RubineRed}3,6} \\ 3,6 km/h &= 1 m/s \\ \end{align}\]

À retenir :

on multiplie par $ 3,6 $ pour passer des m/s aux km/h
on divise par $ 3,6 $ pour passer des km/h aux m/s

Fractions d'heures

\[\begin{align} {\color{RubineRed}2h30 ≠ 2,3h} \\ \\ {\color{ForestGreen}2h30 = 2,5h} \\ \end{align}\]

Minutes	Fraction d'heure	Heures
$ 3 \thinspace m $	$ \frac{3}{60} = \frac{1}{20} \thinspace h $	$ 0,05 \thinspace h $
$ 5 \thinspace m $	$ \frac{5}{60} = \frac{1}{12} \thinspace h $	$ 0,083 \thinspace h $
$ 6 \thinspace m $	$ \frac{6}{60} = \frac{1}{10} \thinspace h $	$ 0,1 \thinspace h $
$ 10 \thinspace m $	$ \frac{10}{60} = \frac{1}{6} \thinspace h $	$ 0,16 \thinspace h $
$ 12 \thinspace m $	$ \frac{12}{60} = \frac{1}{5} \thinspace h $	$ 0,2 \thinspace h $
$ 15 \thinspace m $	$ \frac{15}{60} = \frac{1}{4} \thinspace h $	$ 0,25 \thinspace h $
$ 20 \thinspace m $	$ \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \thinspace h $	$ 0,33 \thinspace h $
$ 30 \thinspace m $	$ \frac{30}{60} = \frac{1}{2} \thinspace h $	$ 0,5 \thinspace h $
$ 45 \thinspace m $	$ \frac{45}{60} = \frac{3}{4} \thinspace h $	$ 0,75 \thinspace h $

Vitesse moyenne aller-retour

Pour calculer une vitesse moyenne aller-retour, il faut trouver la distance totale parcourue et le temps total écoulé.

La distance aller est la même que la distance retour ($ d_{aller} = d_{retour} = d $) :

\[ \fbox{$ v_{\textit{moyenne aller-retour}} = \frac{d + d}{t_{aller} + t_{retour}} $} \]

En modifiant la formule, on remarque qu'on peut aussi la calculer en utilisant uniquement les vitesses :

\[\begin{align} v_{\textit{moyenne aller-retour}} &= \frac{d + d}{t_{aller} + t_{retour}} \\ &= \frac{2 \times d}{\frac{d}{v_{aller}} + \frac{d}{v_{retour}}} \\ &= \frac{2 \times d}{d \times (\frac{1}{v_{aller}} + \frac{1}{v_{retour}})} \\ &= \frac{2}{\frac{1}{v_{aller}} + \frac{1}{v_{retour}}} \\ &= \frac{2}{\frac{1 \times v_{retour}}{v_{aller} \times v_{retour}} + \frac{1 \times v_{aller}}{v_{aller} \times v_{retour}}} \\ &= \frac{2}{\frac{v_{aller} + v_{retour}}{v_{aller} \times v_{retour}}} \\ &= \frac{2 \times v_{aller} \times v_{retour}}{v_{aller} + v_{retour}} \\ \end{align}\]

\[ \fbox{$ v_{\textit{moyenne aller-retour}} = \frac{2 \times v_{aller} \times v_{retour}}{v_{aller} + v_{retour}} $} \]

Cas de rattrapage

Le cas de rattrapage consiste à calculer le temps nécessaire pour qu'un objet B rattrape un objet A parti avant lui.

La vitesse de B est supérieure à celle de A :

$ v_{B} > v_{A} $
sinon B ne pourrait pas rattraper A

Méthode de résolution :

Calculer : $ \text{Distance d'avance de A} $
Calculer : $ \text{Écart de vitesse} = v_{B} - v_{A} $
Calculer : $ \fbox{$ \text{Temps de rattrapage} = \frac{\text{Distance d'avance de A}}{\text{Écart de vitesse}} $} $

Cas de croisement

Le cas de croisement consiste à calculer le temps du trajet avant croisement de deux objets A et B partant de deux endroits différents.

Cas d'un départ simultané

La distance totale est la distance entre le lieu de départ de A et le lieu de départ de B.