Suites arithmétiques

Définition

Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle :

• chaque nombre permet d'obtenir le suivant
• en lui ajoutant une constante appelée raison

Conventions

• \( u_n \) est le terme (ou nombre) de rang (ou d'indice) \( n \)
• \( r \) est la raison
  • raison est une traduction du latin ratio dans le sens de rapport
  • son utilisation dans le cas d'une suite arithmétique ne semble pas bien se justifier car il y désigne la différence constante entre deux termes qui se suivent plutôt qu'un rapport

Valeur d'un terme

Dans la suite des multiples non nuls de trois \( 3 \ ; \ 6 \ ; \ 9 \ ; \ 12 \ ; \ 15 \) etc. :

• les termes de la suite sont :
  • \( u_0 = 3 \)
  • \( u_1 = 6 \)
  • \( u_2 = 9 \)
  • etc.
• pour obtenir les termes :
  • \( u_1 = u_0 + 3 \)
  • \( u_2 = u_1 + 3 \)
  • \( u_3 = u_2 + 3 \)
  • etc.
• la raison est \( r = 3 \)

Trouver la valeur de \( u_5 \) est facile (\( u_5 = 18 \)), mais trouver la valeur de \( u_{3249} \) est plus long…

Il faut trouver une relation :

\[\begin{aligned} u_{1} &= u_0 + 3 \\ \\ u_{\color{DarkGoldenrod}2} &= u_1 + 3 \\ &= u_0 + 3 + 3 \\ &= u_0 + (3 \times {\color{DarkGoldenrod}2}) \\ \\ u_{\color{DarkGoldenrod}3} &= u_2 + 3 \\ &= u_0 + (3 \times 2) + 3 \\ &= u_0 + (3 \times {\color{DarkGoldenrod}3}) \\ \\ u_{\color{DarkGoldenrod}4} &= \cdots \\ \end{aligned}\]

On en déduit \( u_n = u_0 + (3 \times n) \), d'où \( u_{3249} = 3 + (3 \times 3249) = 9750 \).

Plus généralement :

\[ \fbox{$ \text{Valeur du terme d'indice n} = \text{1er terme} + (\text{Indice n} \times \text{Raison}) $} \]

\[ \fbox{$ u_n = u_0 + n \times r $} \]

Somme de Gauss (somme des n premiers entiers non nuls)

La somme de Gauss est à l'origine de la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique.

Pour calculer la somme de nombres entiers consécutifs, par exemple de 1 à 50 :

Écrire les nombres une fois dans un sens	1	2	3	4	5	…	48	49	50
Écrire les nombres une fois dans le sens inverse	50	49	48	47	46	…	3	2	1
Puis effectuer la somme des deux lignes	51	51	51	51	51	…	51	51	51

En déduire :

• que la somme de la dernière ligne vaut \( 50 \times 51 \)
• or cette somme vaut deux fois celle des cinquante nombres (les deux premières lignes)
• donc la somme des cinquante nombres vaut \( \frac{50 \times 51}{2} \)

D'où la formule de la somme des \( n \) premiers nombres entiers consécutifs :

\[ \fbox{$ 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2} $} \]

Une autre façon de comprendre \( n(n + 1) \) est de représenter graphiquement un doublement de somme :

• par exemple la somme des nombres de 1 à 7
• une fois en vert dans un sens
• une fois en rouge dans le sens inverse

On peut visualiser la formule de la somme des termes de la suite de 1 à 7 :

\[ \text{Somme des termes} = \frac{{\color{ForestGreen}7}({\color{ForestGreen}7} + {\color{crimson}1})}{2} \]

Somme des termes

On constate que plus généralement :

\[ \fbox{$ \text{Somme des termes} = \frac{ {\color{ForestGreen}\text{Nombre de termes}} \times ({\color{crimson}\text{1er terme}} + {\color{navy}\text{Dernier terme}}) } {2} $} \]

Cela permet de prolonger la formule à la somme des termes d'une suite arithmétique, sans que le premier terme soit 1.

Attention au décalage si la suite commence à l'indice zéro :

Suite indexée à partir de 0	Suite indexée à partir de 1
\[ \sum_{n=0}^{n} u\\_n = (n + 1) \frac{u\\_0 + u\\_n}{2} \]	\[ \sum_{n=1}^{n} u\\_n = n \times \frac{u\\_1 + u\\_n}{2} \]

Moyenne des extrêmes

La somme des termes d'une suite arithmétique peut aussi se lire comme la moyenne entre le premier et le dernier multiplié par le nombre de termes :

\[ \fbox{$ \text{S} = (\text{Nombre de termes}) \times (\text{Moyenne des termes extrêmes}) $} \]

Visualisation de la formule :

Reconnaître une suite arithmétique

Pour reconnaître une suite arithmétique :

• on calcule la raison \( r = u_{n + 1} - u_n \)
• si \( r \) est une constante, la suite est arithmétique
• si \( r \) n'est pas une constante, la suite n'est pas arithmétique

Nombre d'éléments

Pour calculer un nombre d'éléments numérotés avec :

• \( G \) le plus grand nombre
• \( P \) le plus petit nombre

\[ \fbox{$ G - P + 1 $} \]

Exemple avec le nombre d'éléments numérotés de 45 à 92 (tickets, pages, etc.) : \( 92 - 45 + 1 = 48 \).

Le jeu des poignées de mains

Combien de poignées de mains peuvent être échangées entre \( n \) personnes ?

Si on avait…	…alors on aurait
1 personne	0 poignée de mains
2 personnes	1 poignée de mains
3 personnes	2 poignées de mains
4 personnes	3 poignées de mains
\( n \) personnes	\( n - 1 \) poignées de mains

Il suffit alors d'adapter la formule de la somme des \( x \) premiers nombres entiers consécutifs \( \frac{x(x + 1)}{2} \) avec \( x = n - 1 \) :

\[ \fbox{$ \text{Nombre de poignées de mains} = \frac{n(n - 1)}{2} $} \]