Temps de travail coordonné, productivité, intérêts
Temps de travail coordonné
Il s'agit de calculer :
- le temps \( T \)
- mis par \( n \) personnes
- pour réaliser ensemble un travail
Exemple
Pour faire un travail :
- une personne met 40 minutes
- et une autre met 30 minutes
Combien de temps leur faut-il pour faire ce même travail ensemble ?
On considère que :
| Travail commun | Travail individuel | |||
|---|---|---|---|---|
| une part du travail fait ensemble |
= | une part du travail fait par la 1ère personne |
+ | une part du travail fait par la 2nde personne |
\[ \frac{1}{T} = \frac{1}{40} + \frac{1}{30} = \frac{7}{120} \]
Le produit en croix permet de trouver la valeur de \( T \) :
\[ T = \frac{120 \times 1}{7} \simeq 17 \text{minutes} \]
Formule
\[ \fbox{$ \frac{1}{T} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{T_k} = \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2} + \cdots + \frac{1}{T_n} $} \]
La formule se lit : \( \frac{1}{T} \) égal somme de \( 1 \) sur \( T \) indice \( k \) pour \( k \) variant de \( 1 \) à \( n \).
\( T_1 \), \( T_2 \), \( \cdots \), \( T_n \) représentent les temps respectifs mis par les \( n \) personnes pour réaliser seules le travail.
Productivité
| Terme | Définition |
|---|---|
| Production | Quantité de biens ou services produits |
| Productivité | Production réalisée par unité de temps |
En réalisant qu'une distance est une quantité d'espace entre deux choses :
- on peut se servir de la formule de la distance pour trouver celle de la production
distance↔quantité↔production
\[ \fbox{$ d = t \times v $} \Leftrightarrow \fbox{$ \text{Production} = \text{Temps de travail} \times \text{Productivité} $} \]
À partir de la formule précédente, on trouve les deux suivantes :
\[ \fbox{$ \text{Productivité} = \frac{\text{Production}}{\text{Temps de travail}} $} \]
\[ \fbox{$ \text{Temps de travail} = \frac{\text{Production}}{\text{Productivité}} $} \]
Intérêts
Quand on calcule le capital final et les intérêts obtenus lors d'un investissement financier, il faut prendre en compte les données suivantes :
| Notation | Définition |
|---|---|
| \( K_0 \) | Capital initial |
| \( n \) | Durée de placement (en années, mois, etc.) |
| \( K_n \) | Capital final au bout de \( n \) périodes de placement |
| \( r \) | Taux d'intérêt (variable ou fixe) exprimé en pourcentage |
Intérêts simples
Dans ce type de placement :
- le taux d'intérêt s'applique uniquement sur le capital initial \( K_0 \)
- le montant des intérêts est :
- toujours le même
- versé à chaque période
| Calcul | Formule |
|---|---|
| Montant des intérêts simples | \( \fbox{$ K_0 \times r $} \) |
| Valeur du capital final | \(\begin{aligned} K_n &= K_0 + \big( n \times (K_0 \times r) \big) \\ &= \fbox{$ K_0 \times (1 + n \times r) $} \\ \end{aligned}\) |
| Somme des intérêts de \( n \) périodes | \( n \times (K_0 \times r) \) ou \( \fbox{$ K_n - K_0 $} \) |
Intérêts composés
Dans ce type de placement :
- le montant des intérêts à la fin de chaque période
- est réinvesti en s'ajoutant au capital initial
- en d'autres termes il y a des intérêts sur les intérêts
| Calcul | Formule |
|---|---|
| Intérêts après une période | \(\begin{aligned} K_1 &= K_0 + (K_0 \times r) \\ &= K_0(1 + r) \\ \end{aligned}\) |
| Intérêts après 2 périodes | \(\begin{aligned} K_2 &= {\color{ForestGreen}K_1} + ({\color{ForestGreen}K_1} \times r) \\ &= ({\color{ForestGreen}K_0 (1 + r)} \times 1) + ({\color{ForestGreen}K_0 (1 + r)} \times r) \\ &= {\color{ForestGreen}K_0 (1 + r)}(1 + r) \\ &= K_0 (1 + r)^2 \\ \end{aligned}\) |
| Intérêts après 3 périodes | \(\begin{aligned} K_3 &= K_0 (1 + r) (1 + r) (1 + r) \\ &= K_0 (1 + r)^3 \\ \end{aligned}\) |
|
Intérêts après n périodes
(valeur du capital final) |
\( \fbox{$ K_n = K_0 (1 + r)^n $} \) |
Joint