Suites géométriques
Définition
Une suite géométrique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme permet de déduire le suivant en le multipliant par une constante appelée raison.
Conventions :
- \( u \) est la suite
- \( u_n \) est le terme de rang (ou d'indice) \( n \)
- \( q \) est la raison
Valeur d'un terme
Dans la suite des puissances de trois \( 3 \ ; \ 9 \ ; \ 27 \ ; \ 81 \ ; \ 243 \) etc. :
- les termes de la suite sont :
- \( u_0 = 3 \)
- \( u_1 = 9 \)
- \( u_2 = 27 \)
- etc.
- pour obtenir les termes :
- \( u_1 = u_0 \times 3 \)
- \( u_2 = u_1 \times 3 \)
- \( u_3 = u_2 \times 3 \)
- etc.
- la raison est \( q = 3 \)
On remarque que :
- \( u_1 = u_0 \times 3 \)
- \( u_2 = u_0 \times 3^2 \\ \)
- \( u_3 = u_0 \times 3^3 \)
- etc.
On en déduit \( u_n = u_0 \times 3^n \).
D'après la relation précédente :
\[ \fbox{$ \text{Valeur du terme d'indice n} = \text{1er terme} \times \text{Raison}^{\text{Indice n}} $} \]
\[ \fbox{$ u_n = u_0 \times q^n $} \]
Somme des termes
Soit \( S \) :
- la somme des \( n \) premiers termes d'une suite géométrique
- de premier terme \( u_0 \)
- et de raison \( q \) avec \( q \neq 1 \) et \( q \neq 0 \)
\[ {\color{ForestGreen} S = u_0 + u_0q + u_0q^2 + u_0q^3 + \cdots + u_0q^{n-2} + u_0q^{n-1} } \]
En multipliant par \( q \) chaque côté de l'égalité précédente on obtient :
\[ {\color{RubineRed} Sq = u_0q + u_0q^2 + u_0q^3 + u_0q^4 + \cdots + u_0q^{n-1} + u_0q^n } \]
La différence entre \( Sq \) et \( S \) donne :
\[\begin{align} {\color{ForestGreen}S} - {\color{RubineRed}Sq} &= {\color{ForestGreen} ({\boldsymbol{u_0}} + u_0q + u_0q^2 + u_0q^3 + \cdots + u_0q^{n-1}) } - {\color{RubineRed} (u_0q + u_0q^2 + u_0q^3 + \cdots + u_0q^{n-1} + {\boldsymbol{u_0q^n}}) } \\ &= {\color{ForestGreen}{\boldsymbol{u_0}}} + {\color{ForestGreen} (u_0q + u_0q^2 + u_0q^3 + \cdots + u_0q^{n-1}) } - {\color{RubineRed} (u_0q + u_0q^2 + u_0q^3 + \cdots + u_0q^{n-1}) } + {\color{RubineRed}{\boldsymbol{u_0q^n}}} \\ &= {\color{ForestGreen}u_0} + {\color{RubineRed}u_0q^n} \\ S - Sq &= u_0 + u_0q^n \\ S(1 - q) &= u_0(1 - q^n) \\ S &= u_0 \times \frac{1 - q^n}{1 - q} \\ \end{align}\]
Plus généralement, pour trouver la somme des termes d'une suite géométrique :
\[ \fbox{$ \text{Somme des termes} = \text{Premier terme} \times \frac{ 1 - \text{raison}^{\text{Nombre de termes}} } {1 - \text{raison}} $} \]
\[ \fbox{$ S = u_0 \times \frac{1 - q^n}{1 - q} $} \quad \text{avec} \ q \neq 1 \]
Joint