Fractions

Une fraction peut être définie de plusieurs façons qui ne sont pas mutuellement exclusives :

Les types de fraction

Quand on compare les deux parties de la fraction \( \frac{a}{b} \) :

Les différents sens d'une fraction

Fraction partage

La première intuition du sens d'une fraction est un partage dans une situation du quotidien.

\( \frac{2}{3} \) représente deux parts parmi trois.

Fraction quotient

Le mot quotient vient du latin quotiens qui signifie "combien de fois". En mathématiques, le quotient désigne combien de fois un nombre est la réponse à un problème de division.

Le quotient de la division de \( 1 \) par \( 2 \) se note de différentes manières :

De façon plus générale : \( \fbox{$ a \div b = \frac{a}{b} = q $} \)

On remarque alors que dans la définition d'une division \( a = b \times q \) :

De façon plus générale : \( \forall a \neq 0 \ \ \ \fbox{$ a = b \times \frac{a}{b} $} \)

Cette écriture compacte d'un quotient permet de représenter de manière précise des nombres rationnels \( \mathbb{Q} \) ayant un développement décimal illimité (tel que \( \frac{2}{3} = 0.66666666666… \)) et de les manipuler plus facilement.

Fraction opérateur

Une fraction peut servir d'opérateur pour calculer la fraction d'une quantité.

Problème :

Le réservoir de ma voiture contient 60L lorsqu'il est plein.

Combien contient-il lorsqu'il est rempli aux trois quarts ?

Solution :

Remplir 3/4 du réservoir revient à dire que :

  1. on partage le réservoir en 4 parties égales
  2. on remplit 3 de ces parties

Il y a deux opérations, une division suivie d'une multiplication :

\[\begin{align} 60\ \mathrm{L} \div 4 &= 15\ \mathrm{L} \\ 15\ \mathrm{L} \times 3 &= 45\ \mathrm{L} \\ \end{align}\]

Par abus de langage, on dit que "prendre une fraction d'une quantité revient à multiplier cette quantité par la fraction" :

\[ 60\ \mathrm{L} \times \frac{3}{4} = 45\ \mathrm{L} \]

Deux points essentiels

Nombre entier vu comme une fraction

Quand on multiplie une fraction par un nombre entier, on peut traiter le nombre entier comme une fraction sur 1 :

\[ 60 \times \frac{3}{4} = \frac{60}{1} \times \frac{3}{4} = \frac{60 \times 3}{1 \times 4} = \frac{60 \times 3}{4} \]

De là, notez ces équivalences :

\[ 60 \times \frac{3}{4} = \frac{60 \times 3}{4} = \frac{60}{4} \times 3 = 45 \]

De façon plus générale, avec \( a \), \( b \) et \( c \) des entiers relatifs et \( b \neq 0 \) :

Égalité de fractions

Deux fractions égales :

Un quotient \( \frac{a}{b} \) ne change pas quand on multiplie (ou divise) à la fois son numérateur et son dénominateur par un même nombre \( k \) non nul :

\[ \forall k \neq 0 \ \ \ \fbox{$ \frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} $} \]

\[ \forall k \neq 0 \ \ \ \fbox{$ \frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k} $} \]

On ne fait qu'augmenter ou diminuer le nombre et la taille des parts mais le résultat reste le même.

C'est utile pour poser des divisions décimales à la main :

\[ \frac{100}{0,125} = \frac{100 \times 100}{0,125 \times 100} = \frac{100000}{125} = 800 \]

Dans l'autre sens, \( \frac{k}{k} = 1 \) permet de simplifier les facteurs communs au numérateur et au dénominateur :

\[ \frac{15}{35} = \frac{\cancel{5} \times 3}{\cancel{5} \times 7} = \frac{3}{7} \]

Opérations sur les fractions

Addition et soustraction

Pour une addition ou une soustraction de fractions, il faut qu'elles aient le même dénominateur :

\[ \fbox{$ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c} $} \]

Si le dénominateur est différent, il faut les passer au même dénominateur pour faire les calculs, d'où l'intérêt de bien connaître :

Une fois les calculs effectués :

Multiplication par une autre fraction

Une première façon de comprendre la multiplication d'une fraction par une autre fraction consiste à se défaire de l'idée inconsciente que "la multiplication rend les choses plus grandes".

En effet, cela n'est pas systématiquement le cas, notamment :

Ensuite, on peut utiliser un langage plus simple :

Une autre façon de comprendre est de représenter les multiplications entre fractions comme des surfaces avec des carrés possédant une aire de \( 1 \times 1 = 1 \) :

De façon plus générale, pour multiplier des fractions, il faut multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

\[ \fbox{$ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} $} \]

Attention, si les fractions ont les mêmes dénominateurs, il faut les multiplier quand même :

\[ \fbox{$ \frac{a}{b} \times \frac{c}{b} = \frac{a \times c}{b \times b} = \frac{a \times c}{b^2} $} \]

Division par une autre fraction

En pratique, on transforme un problème de division de fractions en un problème de multiplication de fractions en inversant le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction.

Démonstration :

\[\begin{align} \frac{3}{4} \div \frac{2}{7} &= \frac{\frac{3}{4}}{\frac{2}{7}} \\ &= \frac{ \frac{3}{4} \times {\color{ForestGreen}\frac{7}{2}} }{ \frac{2}{7} \times {\color{ForestGreen}\frac{7}{2}} } \\ &= \frac{ \frac{3}{4} \times {\color{ForestGreen}\frac{7}{2}} }{ 1 } \\ &= \frac{3}{4} \times {\color{ForestGreen}\frac{7}{2}} \\ \end{align}\]

De façon plus générale :

\[ \fbox{$ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} $} \]

Multiplication et division par un nombre entier

L'astuce est de traiter le nombre entier comme une fraction sur 1 pour s'appuyer sur les méthodes précédentes.

Deux possibilités pour multiplier une fraction par un nombre entier :

  1. multiplier le numérateur pour prendre plus de parts de même taille : \[ 3 \times \frac{7}{12} = \frac{3}{1} \times \frac{7}{12} = \frac{3 \times 7}{1 \times 12} = \frac{21}{12} \]
  2. diviser le dénominateur (si c'est possible) pour prendre la même quantité mais en parts plus grandes : \[ 3 \times \frac{7}{12} = \frac{3}{1} \times \frac{7}{12} = \frac{3 \times 7}{1 \times 12} = \frac{{\color{ForestGreen}\cancel{3}} \times 7}{1 \times 4 \times {\color{ForestGreen}\cancel{3}}} = \frac{7}{4} = \frac{7}{12 \div 3} \]

Deux possibilités pour diviser une fraction par un nombre entier :

  1. diviser le numérateur (si c'est possible) pour prendre moins de parts de même taille : \[ \frac{12}{5} \div 3 = \frac{12}{5} \div \frac{3}{1} = \frac{12 \div 3}{5 \div 1} = \frac{4}{5} \]
  2. multiplier le dénominateur pour prendre la même quantité mais en parts plus petites : \[ \frac{12}{5} \div 3 = \frac{12}{5} \div \frac{3}{1} = \frac{12}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{12 \times 1}{5 \times 3} = \frac{12}{15} \]

Produits en croix pour vérifier l'égalité de deux quotients

On a vu plus haut qu'un quotient ne change pas quand on multiplie à la fois son numérateur et son dénominateur par un même nombre.

Donc, pour vérifier une égalité de quotients, on peut multiplier chacun d'eux par une fraction dont le numérateur et le dénominateur correspondent au dénominateur de la fraction opposée afin d'obtenir "le même nombre de parts" :

\[\begin{align} \frac{3}{9} &= \frac{2}{6} \\ \frac{{\color{ForestGreen}6}}{{\color{ForestGreen}6}} \times \frac{3}{{\color{RubineRed}9}} &= \frac{2}{{\color{ForestGreen}6}} \times \frac{{\color{RubineRed}9}}{{\color{RubineRed}9}} \\ \frac{18}{54} &= \frac{18}{54} \\ \end{align}\]

Si on tombe sur le même quotient, alors les fractions sont égales.

Il existe un raccourci pour vérifier l'égalité de deux rapports :

Démonstration :

\[\begin{align} \frac{a}{b} &= \frac{c}{d} \\ {\color{RubineRed}d} \times \frac{a}{b} &= \frac{c}{d} \times {\color{RubineRed}d} \\ \frac{a \times {\color{RubineRed}d}}{b} &= c \times \frac{1}{d} \times {\color{RubineRed}d} \\ \frac{a \times {\color{RubineRed}d}}{b} &= c \times \frac{{\color{RubineRed}d}}{d} \\ \frac{a \times d}{b} &= c \\ {\color{ForestGreen}b} \times \frac{a \times d}{b} &= c \times {\color{ForestGreen}b} \\ {\color{ForestGreen}b} \times \frac{1}{b} \times a \times d &= c \times {\color{ForestGreen}b} \\ \frac{{\color{ForestGreen}b}}{b} \times a \times d &= c \times {\color{ForestGreen}b} \\ a \times d &= c \times b \\ \end{align}\]

C'est utile quand on a que 3 valeurs connues d'une proportion et qu'on souhaite en déduire la quatrième (quatrième proportionnelle) :

\[\begin{align} a \times {\color{RubineRed}d} &= b \times c \\ {\color{RubineRed}d} &= \frac{b \times c}{a} \\ \end{align}\]

Signe d'une fraction

Un négatif divisé par un négatif est positif :

\[ \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2} \]

Parce qu'un négatif divisé par un positif est négatif et qu'un positif divisé par un négatif est négatif, un seul signe négatif dans une fraction peut aller où vous voulez :

\[ \frac{-3}{2} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2} \]

Un moins devant une fraction revient à multiplier tout le numérateur par \( −1 \) :

\[ - \frac{b + c}{d} = \frac{-(b + c)}{d} = \frac{-b - c}{d} \]

Convertir des décimaux en fractions

Dans certains cas, on peut convertir facilement un nombre décimal en fraction.

On utilise la multiplication par \( 100 \) qui déplace tous les chiffres vers la gauche :

\[\begin{align} {\color{ForestGreen}x} &= \ \ 0.272727… \\ {\color{RubineRed}100x} &= 27.2727… \\ {\color{RubineRed}100x} - {\color{ForestGreen}x} &= 27 \\ x(100 - 1) &= 27 \\ 99x &= 27 \\ {\color{ForestGreen}x} &= \frac{27}{99} = \frac{3}{11} \\ \end{align}\]

Pour traiter une fraction irrégulière, on utilise un multiple de \( 10 \) plus grand :

\[\begin{align} {\color{ForestGreen}x} &= \ \ \ \ \ \ 12.3123123… \\ {\color{RubineRed}1000x} &= 12312.3123… \\ {\color{RubineRed}1000x} - {\color{ForestGreen}x} &= 12300 \\ x(1000x - 1) &= 12300 \\ 999x &= 12300 \\ {\color{ForestGreen}x} &= \frac{12300}{999} \\ \end{align}\]

Relation entre fraction et nombre rationnel

La technique ci-dessus fonctionne pour tous les nombres ayant une partie décimale qui se répète (ou développement décimal périodique).

Est-ce que toutes les fractions ont des décimales qui se répètent ?

Quand on divise par \( 7 \) :

Mais ça n'est pas toujours le cas. Par exemple quand on divise par \( 11 \) :

Plus généralement :

À noter :

Un nombre est dit rationnel (\( \mathbb{Q} \)) si :

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