Fractions

Une fraction peut être vue de plusieurs façons qui ne sont pas mutuellement exclusives :

Quand on compare une fraction à l'entier 1 :

Les différents sens d'une fraction

Fraction partage

La première intuition du sens d'une fraction est un partage.

\( \frac{2}{3} \) représente un partage dans une situation du quotidien : deux parts parmi trois.

Fraction quotient

\( 1 \div 2 = {\color{RubineRed}0,5} \).

\( {\color{RubineRed}0,5} \) est le quotient de la division de \( 1 \) par \( 2 \).

Le quotient (du latin quotiens "combien de fois") est le nombre qui, multiplié par \( 2 \) donne un résultat égal à \( 1 \).

On préfère simplifier l'écriture \( 1 \div 2 \) avec une écriture fractionnaire \( \frac{1}{2} \).

Ainsi \( 1 \div 2 \) peut s'écrire sous la forme \( \frac{1}{2} \) ou \( 0,5 \).

De façon plus générale : \( \fbox{$ \frac{a}{b} = a \div b = q $} \)

\( \frac{a}{b} \) est le nombre qui donne une solution à l'équation \( a = b \times q \) : \( \forall a \neq 0 \ \ \ \fbox{$ a = b \times \frac{a}{b} $} \)

\( \frac{2}{3} \) considéré intuitivement comme "deux parts parmi trois" peut maintenant être vu comme le nombre dont le produit par trois est égal à deux.

Cette écriture compacte d'un quotient permet de représenter de manière précise des nombres rationnels \( \mathbb{Q} \) ayant un développement décimal illimité (tel que \( \frac{2}{3} = 0.66666666666 \)) et de les manipuler plus facilement.

Fraction opérateur

Une fraction peut servir d'opérateur pour calculer la fraction d'une quantité.

Problème

Le réservoir de ma voiture contient 60L lorsqu'il est plein.

Combien contient-il lorsqu'il est rempli aux trois quarts ?

Solution

Remplir 3/4 du réservoir revient à dire que :

  1. on partage le réservoir en 4 parties égales
  2. on remplit 3 de ces parties

Il y a deux opérations, une division suivie d'une multiplication :

\[\begin{align} 60\ \mathrm{L} \div 4 &= 15\ \mathrm{L} \\ 15\ \mathrm{L} \times 3 &= 45\ \mathrm{L} \\ \end{align}\]

Par abus de langage, on dit que "prendre une fraction d'une quantité revient à multiplier cette quantité par la fraction" :

\[ 60\ \mathrm{L} \times \frac{3}{4} = 45\ \mathrm{L} \]

Nombre entier vu comme une fraction

Quand on multiplie une fraction par un nombre entier comme ci-dessus, on peut traiter le nombre entier comme une fraction sur 1 :

\[ 60 \times \frac{3}{4} = \frac{60}{1} \times \frac{3}{4} = \frac{60 \times 3}{1 \times 4} = \frac{60 \times 3}{4} \]

De là, notez ces équivalences :

\[ 60 \times \frac{3}{4} = \frac{60 \times 3}{4} = \frac{60}{4} \times 3 = 45 \]

Propriétés

On peut généraliser avec \( a \), \( b \) et \( c \) des entiers relatifs \( b \neq 0 \), les propriétés suivantes :

Addition et soustraction de fractions

Pour pouvoir additionner des fractions, il faut qu'elles aient le même dénominateur :

\[ \fbox{$ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c} $} \]

Si le dénominateur est différent, il faut les passer au même dénominateur pour faire les calculs, d'où l'intérêt de bien connaître :

Une fois les calculs effectués, il faut toujours réduire une fraction au maximum.

Une fraction est irréductible si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux, c'est- à-dire si leur plus grand diviseur est 1.

Multiplication et division de fractions par un nombre entier

Possibilités pour multiplier une fraction par un nombre entier :

  1. multiplier le numérateur par le nombre afin de prendre plus de parts sans en changer la taille :
    \( 3 \times \frac{7}{12} = \frac{3 \times 7}{12} = \frac{21}{12} \)
  2. diviser le dénominateur par le nombre (si c'est possible) afin de prendre le même nombre de parts mais plus grandes :
    \( 3 \times \frac{7}{12} = \frac{7}{12 \div 3} = \frac{7}{4} \)

Possibilités pour diviser une fraction par un nombre entier :

  1. multiplier le dénominateur par le nombre afin de prendre le même nombre de parts mais plus petites :
    \( \frac{12}{5} \div 3 = \frac{12}{5 \times 3} = \frac{12}{15} \)
  2. diviser le numérateur par le nombre (si c'est possible) afin de prendre moins de parts sans en changer la taille :
    \( \frac{12}{5} \div 3 = \frac{12 \div 3}{5} = \frac{4}{5} \)

Multiplication de fractions par une autre fraction

Pour comprendre la multiplication d'une fraction par une autre fraction, il faut d'abord se défaire de l'idée inconsciente que "la multiplication rend les choses plus grandes".

En effet, cela n'est pas systématiquement le cas, notamment :

Ensuite, il faut utiliser un langage plus simple :

On peut maintenant représenter graphiquement les multiplications entre fractions comme des surfaces :

En résumé, pour multiplier des fractions, il faut multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

\[ \fbox{$ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} $} \]

Attention, si les fractions ont les mêmes dénominateurs, il faut les multiplier quand même :

\[ \fbox{$ \frac{a}{b} \times \frac{c}{b} = \frac{a \times c}{b \times b} = \frac{a \times c}{b^2} $} \]

Division de fractions par une autre fraction

Propriété d'un nombre divisé par lui-même

\( \forall a \neq 0 \) (quel que soit a différent de 0) \( \fbox{$ \frac{a}{a} = 1 $} \)

Cet axiome sera utile pour expliquer la notation de l'inverse multiplicatif ci-dessous.

Inverse multiplicatif

Si le produit de deux nombres vaut 1, on dit que ces nombres sont inverses l'un de l'autre.

Ainsi, l'inverse multiplicatif d'un nombre \( a \) se note \( \frac{1}{a} \), \( \forall a \neq 0 \) car \( a \times \frac{1}{a} = \frac{a}{a} = 1 \).

Multiplier pour diviser

La division est l'opération inverse de la multiplication. Donc, au lieu de diviser par un nombre, on peut multiplier par l'inverse de ce nombre \( \fbox{$ \frac{a}{b} = a \times \frac{1}{b} $} \).

C'est utile pour éviter de faire une division qui serait plus compliquée qu'une multiplication, comme pour diviser une fraction : \( \frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{a}{b} \times \frac{1}{c} \)

Par exemple :

\[\begin{align} \frac{1}{8}x &= 15 \\ x &= \frac{15}{\frac{1}{8}} \\ & = 15 \times \frac{8}{1} \\ & = 120 \\ \end{align}\]

Inverse d'une fraction

À partir du point précédent, on peut dire que l'inverse d'une fraction \( \frac{a}{b} \) est égal à \( \frac{b}{a} \) car \( \frac{a \cdot b}{b \cdot a} = 1 \).

Donc en pratique, pour transformer un problème de division de fractions en un problème de multiplication de fractions, il suffit d'inverser le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction :

\[ \fbox{$ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} $} \]

Égalité de fractions

Deux fractions égales représentent la même valeur :

\[ \frac{50}{100} = \frac{1}{2} \]

Elles occupent la même place sur une droite numérique.

Quotients égaux

Un quotient \( \frac{a}{b} \) ne change pas quand on multiplie (ou divise) à la fois son numérateur et son dénominateur par un même nombre \( k \) non nul.

\[ \fbox{$ \frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} $} \]

\[ \fbox{$ \frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k} $} \]

On ne fait qu'augmenter ou diminuer le nombre et la taille des parts mais le résultat reste le même.

Après tout, \( \frac{k}{k} = 1 \), et c'est ce qui permet de simplifier les facteurs communs au numérateur et au dénominateur :

\[ \frac{15}{35} = \frac{\cancel{5} \times 3}{\cancel{5} \times 7} = \frac{3}{7} \]

Ceci est aussi très utile pour poser des divisions décimales à la main :

\[ \frac{100}{0,125} = \frac{100 \times 100}{0,125 \times 100} = \frac{100000}{125} = 800 \]

Produits en croix pour vérifier l'égalité de deux quotients

Un quotient ne change pas quand on multiplie à la fois son numérateur et son dénominateur par un même nombre.

Donc, pour vérifier une égalité de quotients, on peut multiplier chacun d'eux par une fraction dont le numérateur et le dénominateur correspondent au dénominateur de la fraction opposée afin d'obtenir "le même nombre de parts" :

\[\begin{align} \frac{3}{9} &= \frac{2}{6} \\ \frac{{\color{ForestGreen}6}}{{\color{ForestGreen}6}} \times \frac{3}{{\color{RubineRed}9}} &= \frac{2}{{\color{ForestGreen}6}} \times \frac{{\color{RubineRed}9}}{{\color{RubineRed}9}} \\ \frac{18}{54} &= \frac{18}{54} \\ \end{align}\]

Si on tombe sur le même quotient, alors les fractions sont égales.

Il existe un raccourci pour vérifier l'égalité de deux rapports : si \( a \times d = b \times c \) alors \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \). On dit que les produits en croix sont égaux :

C'est utile aussi quand on a que 3 valeurs connues d'une proportion et qu'on souhaite en déduire la quatrième (quatrième proportionnelle) :

\[\begin{align} a \times {\color{RubineRed}d} &= b \times c \\ {\color{RubineRed}d} &= \frac{b \times c}{a} \\ \end{align}\]

On peut le démontrer en utilisant l'inverse multiplicatif et le fait qu'on peut multiplier les deux membres d'une égalité par un même nombre sans modifier l'égalité :

\[\begin{align} \frac{a}{b} &= \frac{c}{d} \\ {\color{RubineRed}d} \times \frac{a}{b} &= \frac{c}{d} \times {\color{RubineRed}d} \\ \frac{a \times {\color{RubineRed}d}}{b} &= c \times \frac{1}{d} \times {\color{RubineRed}d} \\ \frac{a \times {\color{RubineRed}d}}{b} &= c \times \frac{{\color{RubineRed}d}}{d} \\ \frac{a \times d}{b} &= c \\ {\color{ForestGreen}b} \times \frac{a \times d}{b} &= c \times {\color{ForestGreen}b} \\ {\color{ForestGreen}b} \times \frac{1}{b} \times a \times d &= c \times {\color{ForestGreen}b} \\ \frac{{\color{ForestGreen}b}}{b} \times a \times d &= c \times {\color{ForestGreen}b} \\ a \times d &= c \times b \\ \end{align}\]

Signe d'une fraction

Un négatif divisé par un négatif est positif :

\[ \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2} \]

Parce qu'un négatif divisé par un positif est négatif et qu'un positif divisé par un négatif est négatif, un seul signe négatif dans une fraction peut aller où vous voulez :

\[ \frac{-3}{2} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2} \]

Un moins devant une fraction revient à multiplier tout le numérateur par \( −1 \) :

\[ - \frac{b + c}{d} = \frac{-(b + c)}{d} = -\frac{-b - c}{d} \]

Convertir des décimaux en fractions

Dans certains cas, on peut convertir facilement un nombre décimal en fraction.

On utilise la multiplication par \( 100 \) qui déplace tous les chiffres vers la gauche :

\[\begin{align} {\color{ForestGreen}x} &= \ \ 0.272727… \\ {\color{RubineRed}100x} &= 27.2727… \\ {\color{RubineRed}100x} - {\color{ForestGreen}x} &= 27 \\ x(100 - 1) &= 27 \\ 99x &= 27 \\ {\color{ForestGreen}x} &= \frac{27}{99} = \frac{3}{11} \\ \end{align}\]

Pour traiter une fraction irrégulière, on utilise un multiple de \( 10 \) plus grand :

\[\begin{align} {\color{ForestGreen}x} &= \ \ \ \ \ \ 12.3123123… \\ {\color{RubineRed}1000x} &= 12312.3123… \\ {\color{RubineRed}1000x} - {\color{ForestGreen}x} &= 12300 \\ x(1000x - 1) &= 12300 \\ 999x &= 12300 \\ {\color{ForestGreen}x} &= \frac{12300}{999} \\ \end{align}\]

Relation entre fraction et nombre rationnel

La technique ci-dessus fonctionne pour tous les nombres ayant une partie décimale qui se répète (ou développement décimal périodique).

Est-ce que toutes les fractions ont des décimales qui se répètent ?

Quand on divise par \( 7 \), seulement six restes non nuls sont possibles : \( 1 \), \( 2 \), \( 3 \), \( 4 \), \( 5 \) ou \( 6 \). Donc après six étapes au plus, la décimale doit se répéter.

La division \( \frac{2}{7} = 0,{\color{ForestGreen}285714}{\color{RubineRed}285714}… \) passe par les six restes possibles, ce qui donne une expansion décimale avec des blocs de six chiffres qui se répètent, ou de période six.

Mais ça n'est pas toujours le cas. Par exemple quand on divise par \( 11 \), il y a dix restes non nuls possibles. Mais \( \frac{4}{11} = 0.{\color{ForestGreen}36}{\color{RubineRed}36}{\color{ForestGreen}36}… \) possède un développement décimal de période deux.

Plus généralement :

À noter : la partie qui se répète peut n'être constituée que de zéros. La divison de \( \frac{1}{10} = 0,100000… \) a des zéros se répètent à l'infini.

Un nombre est dit rationnel si :

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