Inéquations
Une inéquation est une inégalité entre deux quantités qui dépend de certaines variables (ou inconnues).
Préambule
Deux nombres sont rangés dans l'ordre inverse de leurs opposés :
\[ \fbox{$ \textrm{Si} \quad a > b \quad \textrm{alors} \quad -a < -b $} \]
Par exemple, si \( 3 > 1 \) alors \( -3 < -1 \) :
Propriétés
| Propriété | Explication | |||
|---|---|---|---|---|
| Si | \( a ≤ b \) | alors | \( a + x ≤ b + x \) | L'inégalité garde le même sens si on ajoute aux deux membres un même nombre |
| Si | \( a ≤ b \quad \textrm{et} \quad x ≤ y \) | alors | \( a + x ≤ b + y \) | On peut ajouter membre à membre deux inégalités de même sens |
| Si | \( a < b \quad \textrm{et} \quad x > 0 \) | alors | \( a \times x < b \times x \) | L'inégalité garde le même sens si on multiplie (ou divise) les membres par un même nombre positif |
| Si | \( a < b \quad \textrm{et} \quad x < 0 \) | alors | \( a \times x > b \times x \) | L'inégalité change de sens si on multiplie (ou divise) les membres par un même nombre négatif |
Résolution d'inéquations du premier degré
Pour résoudre une inéquation il faut isoler l'inconnue \( x \).
| Inéquation | Résolution |
|---|---|
| \( x + 1 > 3 \) |
On ajoute \( -1 \) à chaque membre :
|
| \( 2x > 4 \) |
On multiplie chaque membre par \( \frac{1}{2} \) :
|
| \( -3x < 9 \) |
On multiplie chaque membre par \( -\frac{1}{3} \) :
|
Résolution d'inéquations produit
Quand il y a plusieurs facteurs dans une inégalité, on étudie le signe de chacun d'eux.
Pour \( (x - 1)(-2x + 3) > 0 \) :
- \( (x - 1) \)
- \( x - 1 > 0 \) pour \( x > 1 \)
- \( x - 1 < 0 \) pour \( x < 1 \)
- \( (-2x + 3) \)
- \( -2x + 3 > 0 \) pour \( x < \frac{3}{2} \)
- \( -2x + 3 < 0 \) pour \( x > \frac{3}{2} \)
On récapitule dans un tableau de signes :
\[\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & 1 & & \frac{3}{2} & & +\infty \\ \hline x - 1 & & - & | & + & | & + & \\ \hline -2x + 3 & & + & | & + & | & - & \\ \hline (x-1)(-2x + 3) & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline \end{array}\]
L'ensemble des solutions est :
\[ 1 < x < \frac{3}{2} \]
Résolution d'inéquations du second degré
Résoudre une inéquation du second degré revient à :
- étudier le signe du polynôme
- pour trouver les intervalles pour lesquels l'inégalité est vérifiée
Étapes
- réorganiser l'inéquation pour n'avoir que zéro à droite (si nécessaire)
- simplifier (si possible)
- calculer le discriminant
- déterminer le signe du polynôme du second degré
Signe d'un polynôme du second degré
Le signe d'un polynôme de degré 2 se détermine selon :
- son discriminant \( \Delta \)
- et son coefficient dominant \( a \)
| Si | Alors \( \ ax^2 + bx + c \ \) est du signe | |
|---|---|---|
| \( \Delta < 0 \) | de \( a \) | \(\begin{array}{|cc|} \hline -\infty & & +\infty \\ \hline & a & \\ \hline \end{array}\) |
| \( \Delta = 0 \) | de \( a \) mais s'annule en \( x = \frac{-b}{2a} \) | \(\begin{array}{|cccc|} \hline -\infty & & x & & +\infty \\ \hline & a & 0 & a & \\ \hline \end{array}\) |
| \( \Delta > 0 \) | de \( a \) à l'extérieur des racines et de \( -a \) à l'intérieur des racines | \(\begin{array}{|ccccccc|} \hline -\infty & & x_1 & & x_2 & & +\infty \\ \hline & a & 0 & -a & 0 & a & \\ \hline \end{array}\) |
Pour le comprendre :
- on part de la forme canonique : \( a({\color{NavyBlue}(x + \frac{b}{2a})^2 \thinspace - \frac{\Delta}{4a^2}}) = 0 \)
- puis on factorise
- afin de pouvoir dresser un tableau de signes
Factoriser quand Delta est positif
\[\begin{align} {\color{NavyBlue}(a^2 - b^2)} &= (a - b)(a + b) \\ &\text{Donc :} \\ {\color{NavyBlue}(x + \frac{b}{2a})^2 \thinspace - \frac{\Delta}{4a^2}} &= (x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}) (x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}) \\ &= \big(x - ( -\frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a})\big) \big(x - ( -\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a})\big) \\ &= \big(x - ({\color{ForestGreen}\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}})\big) \big(x - ({\color{ForestGreen}\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}})\big) \\ &= {\color{NavyBlue}(x - x_1)(x - x_2)} \\ &\text{D'où :} \\ a({\color{NavyBlue}(x + \frac{b}{2a})^2 \thinspace - \frac{\Delta}{4a^2}}) &= a{\color{NavyBlue}(x - x_1)(x - x_2)}\\ \end{align}\]
D'où le tableau de signes :
\[\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & x_1 & & x_1 & & +\infty \\ \hline x - x_1 & & - & 0 & + & | & + & \\ \hline x - x_2 & & - & | & - & 0 & + & \\ \hline a(x - x_1)(x - x_2) & & a & 0 & -a & 0 & a & \\ \hline \end{array}\]
On voit que le polynôme est :
- du signe de \( a \) à l'extérieur des racines
- du signe de \( -a \) à l'intérieur des racines
Factoriser quand Delta est nul
Si \( \Delta = 0 \), alors \( \frac{\Delta}{4a^2} \) disparaît :
\[\begin{align} {\color{NavyBlue}(x + \frac{b}{2a})^2} &= \big(x - ({\color{ForestGreen}- \frac{b}{2a}}))^2\big) \\ &= {\color{NavyBlue}(x - x_0)^2} \\ &\text{D'où :} \\ a({\color{NavyBlue}(x + \frac{b}{2a})^2}) &= a{{\color{NavyBlue}(x - x_0)^2}}\\ \end{align}\]
D'où le tableau de signes :
\[\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & x_0 & & +\infty \\ \hline a(x - x_0)^2 & & a & 0 & a & \\ \hline \end{array}\]
On voit que le polynôme est :
- du signe de \( a \)
- mais s'annule en \( x = \frac{-b}{2a} \)
Factoriser quand Delta est négatif
Si Delta est négatif, alors il n'est pas possible de factoriser le polynôme.
Ce dernier ne s'annule jamais et est toujours du signe de \( a \).
Exemple
\[\begin{align} 2x^2 + 6x - 3 &< -1 \\ 2x^2 + 6x - 3 \thinspace {\color{RubineRed}+ 1} &< -1 \thinspace {\color{RubineRed}+ 1} \\ 2x^2 + 6x - 2 &< 0 \\ 2(x^2 + 3x - 1) &< 0 \\ 2(x^2 + 3x - 1) \thinspace {\color{RubineRed}\times \frac{1}{2}} &< 0 \thinspace {\color{RubineRed}\times \frac{1}{2}} \\ x^2 + 3x - 1 &< 0 \end{align}\]
\[\begin{align} \Delta &= b^2 - 4ac \\ &= 3^2 - 4 \times 1 \times -1 \\ &= 13 \end{align}\]
\[\begin{align} \sqrt{\Delta} &= \sqrt{13} \\ x1 &= \frac{-3 + \sqrt{13}}{2} \\ x2 &= \frac{-3 - \sqrt{13}}{2} \\ \end{align}\]
Les solutions sont :
\[ \frac{-3 - \sqrt{13}}{2} < x < \frac{-3 + \sqrt{13}}{2} \]
Joint