Inéquations

Une inéquation est une inégalité qui contient une grandeur inconnue \( x \).

Propriétés

Deux nombres sont rangés dans l'ordre inverse de leurs opposés

\[ \fbox{$ \textrm{Si} \quad a > b \quad \textrm{alors} \quad -a < -b $} \]

Par exemple, \( 3 > 1 \) et \( -3 < -1 \) :

Opérations sur les membres

On peut ajouter aux deux membres d'une inégalité un même nombre sans modifier l'inégalité :

\[ \fbox{$ \textrm{Si} \quad a ≤ b \quad \textrm{alors} \quad a + x ≤ b + x $} \]

On peut ajouter membre à membre deux inégalités de même sens :

\[ \fbox{$ \textrm{Si} \quad a ≤ b \quad \textrm{et} \quad x ≤ y \quad \textrm{alors} \quad a + x ≤ b + y $} \]

Changement de sens de l'inégalité

En conséquence des propriétés précedentes, si on multiplie (ou divise) les membres d'une inégalité par un même nombre négatif, alors l'inégalité change de sens.

D'une manière générale :

\[ \fbox{$ \textrm{Si} \quad a < b \quad \textrm{et} \quad x > 0 \quad \textrm{alors} \quad x \times a < x \times b $} \]

\[ \fbox{$ \textrm{Si} \quad a < b \quad \textrm{et} \quad x < 0 \quad \textrm{alors} \quad x \times a > x \times b $} \]

Résolution d'inéquations du premier degré

Pour résoudre une inéquation il faut isoler l'inconnue \( x \).

Inéquation 1

\( x + 1 > 3 \)

On ajoute \( -1 \) à chaque membre :

• \( x + 1 - 1 > 3 - 1 \)
• \( x > 2 \)

Inéquation 2

\( 2x > 4 \)

On multiplie chaque membre par \( \frac{1}{2} \) :

• \( 2x \times \frac{1}{2} > 4 \times \frac{1}{2} \)
• \( x > 2 \)

Inéquation 3

\( -3x < 9 \)

On multiplie chaque membre par \( -\frac{1}{3} \).

Le sens de l'inégalité change car on multiplie par un nombre négatif :

• \( -3x \times -\frac{1}{3} > 9 \times -\frac{1}{3} \)
• \( x > -3 \)

Résolution d'inéquations avec un produit

Quand il y a plusieurs facteurs dans une inégalité, on étudie le signe de chacun d'eux.

Pour \( (x - 1)(-2x + 3) > 0 \) :

• \( (x - 1) \)
  • \( x - 1 > 0 \) pour \( x > 1 \)
  • \( x - 1 < 0 \) pour \( x < 1 \)
• \( (-2x + 3) \)
  • \( -2x + 3 > 0 \) pour \( x < \frac{3}{2} \)
  • \( -2x + 3 < 0 \) pour \( x > \frac{3}{2} \)

On récapitule dans un tableau :

\[\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & 1 & & \frac{3}{2} & & +\infty \\ \hline x - 1 & & - & | & + & | & + & \\ \hline -2x + 3 & & + & | & + & | & - & \\ \hline (x-1)(-2x + 3) & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline \end{array}\]

Les solutions sont :

\[ 1 < x < \frac{3}{2} \]

Résolution d'inéquations du second degré

Pour résoudre une inéquation du second degré, il faut étudier le signe du polynôme.

Pour cela, on calcule son discriminant et selon le résultat \( \Delta \), le polynôme \( ax^2 + bx + c \) aura ou non des racines et on pourra étudier son signe :

• si \( \Delta < 0 \), le polynôme est du signe de \( a \) pour tout réel \( x \)
• si \( \Delta = 0 \), le polynôme est du signe de \( a \) pour tout réel \( x \) autre que \( \frac{-b}{2a} \)
• si \( \Delta > 0 \), le polynôme est du signe de \( a \) à l'extérieur des racines et du signe de \( -a \) à l'intérieur des racines

Exemple :

\[\begin{align} 2x^2 + 6x - 3 &< -1 \\ 2x^2 + 6x - 3 \thinspace {\color{RubineRed}+ 1} &< -1 \thinspace {\color{RubineRed}+ 1} \\ 2x^2 + 6x - 2 &< 0 \\ 2(x^2 + 3x - 1) &< 0 \\ 2(x^2 + 3x - 1) \thinspace {\color{RubineRed}\times \frac{1}{2}} &< 0 \thinspace {\color{RubineRed}\times \frac{1}{2}} \\ x^2 + 3x - 1 &< 0 \end{align}\]

\[\begin{align} \Delta &= b^2 - 4ac \\ &= 3^2 - 4 \times 1 \times -1 \\ &= 13 \end{align}\]

\[\begin{align} \sqrt{\Delta} &= \sqrt{13} \\ x1 &= \frac{-3 + \sqrt{13}}{2} \\ x2 &= \frac{-3 - \sqrt{13}}{2} \\ \end{align}\]

Les solutions sont :

\[ \frac{-3 - \sqrt{13}}{2} < x < \frac{-3 + \sqrt{13}}{2} \]