Vitesse
La vitesse d'un objet en mouvement est la quantité de distance qu'il parcourt par unité de temps.
\[ \fbox{$ v = \frac{d}{t} $} \]
Ce ratio permet :
- de comparer des vitesses
- pour savoir ce qui va plus ou moins vite
Principales unités de vitesse
La vitesse est exprimée avec les unités dérivées du Système international :
- mètre par seconde
m/s
- kilomètre par heure
km/h
Vitesse, temps et distance
Il y a 3 formules :
- Vitesse \( \fbox{$ v = \frac{d}{t} $} \)
- Temps \( \fbox{$ t = \frac{d}{v} $} \)
- Distance \( \fbox{$ d = t \times v $} \)
Un moyen de retenir est de remarquer que la formule de la distance respecte l'ordre des lettres dans l'alphabet :
\[ d = t \times v \]
À partir de là, on retrouve :
-
la vitesse :
\[\begin{align} d &= t \times v \\ \frac{d}{{\color{RubineRed}t}} &= \frac{\cancel{t} \times v}{{\color{RubineRed}\cancel{t}}} \\ v &= \frac{d}{t} \\ \end{align}\]
-
le temps :
\[\begin{align} d &= t \times v \\ \frac{d}{{\color{RubineRed}v}} &= \frac{t \times \cancel{v}}{{\color{RubineRed}\cancel{v}}} \\ t &= \frac{d}{v} \\ \end{align}\]
Vitesse moyenne
Vitesse et vitesse moyenne sont des concepts différents :
- la vitesse est une mesure ponctuelle
- la vitesse moyenne mesure la vitesse sur la totalité d'un trajet
- car on considère qu'elle n'est pas constante sur l'ensemble du trajet
- exemple : la vitesse varie pendant la phase de démarrage
\[ \fbox{$ \text{Vitesse moyenne} = \frac{\text{Distance totale}}{\text{Temps total}} $} \]
Conversions
Unités distances
Utiliser les puissances de dix qui correspondent aux préfixes :
\[ 340 m/s = \frac{340 \thinspace m}{1 \thinspace s} = \frac{340 \times 10^{-3} \thinspace km}{1 \thinspace s} = \frac{0,34 \thinspace km}{1 \thinspace s} = 0,34 km/s \]
Unités temps
- dans 1 jour il y a 24 heures
- dans 1 heure il y a 60 minutes
- dans 1 minute il y a 60 secondes
3,6 pour passer des m/s
aux km/h
Pour passer des km/h
aux m/s
:
\[\begin{align} 1 km/h &= \frac{1 \thinspace km}{1 \thinspace h} \\ &= \frac{1 \times 10^3 \thinspace m}{1 \thinspace h \times 60 \thinspace min \times 60 \thinspace s} \\ &= \frac{1000 \thinspace m}{3600 \thinspace s} \\ &= \frac{1 \thinspace m}{3,6 \thinspace s} \\ \end{align}\]
De là :
\[\begin{align} 1 km/h &= \frac{1 \thinspace m}{3,6 \thinspace s} \\ {\color{RubineRed}3,6} \times 1 km/h &= \frac{1 \thinspace m}{3,6 \thinspace s} \times {\color{RubineRed}3,6} \\ 3,6 km/h &= 1 m/s \\ \end{align}\]
À retenir :
- on multiplie par \( 3,6 \) pour passer des
m/s
auxkm/h
- on divise par \( 3,6 \) pour passer des
km/h
auxm/s
Fractions d'heures
\[\begin{align} {\color{RubineRed}2h30 ≠ 2,3h} \\ \\ {\color{ForestGreen}2h30 = 2,5h} \\ \end{align}\]
Minutes | Fraction d'heure | Heures |
---|---|---|
\( 3 \thinspace m \) | \( \frac{3}{60} = \frac{1}{20} \thinspace h \) | \( 0,05 \thinspace h \) |
\( 5 \thinspace m \) | \( \frac{5}{60} = \frac{1}{12} \thinspace h \) | \( 0,083 \thinspace h \) |
\( 6 \thinspace m \) | \( \frac{6}{60} = \frac{1}{10} \thinspace h \) | \( 0,1 \thinspace h \) |
\( 10 \thinspace m \) | \( \frac{10}{60} = \frac{1}{6} \thinspace h \) | \( 0,16 \thinspace h \) |
\( 12 \thinspace m \) | \( \frac{12}{60} = \frac{1}{5} \thinspace h \) | \( 0,2 \thinspace h \) |
\( 15 \thinspace m \) | \( \frac{15}{60} = \frac{1}{4} \thinspace h \) | \( 0,25 \thinspace h \) |
\( 20 \thinspace m \) | \( \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \thinspace h \) | \( 0,33 \thinspace h \) |
\( 30 \thinspace m \) | \( \frac{30}{60} = \frac{1}{2} \thinspace h \) | \( 0,5 \thinspace h \) |
\( 45 \thinspace m \) | \( \frac{45}{60} = \frac{3}{4} \thinspace h \) | \( 0,75 \thinspace h \) |
Vitesse moyenne aller-retour
Pour calculer une vitesse moyenne aller-retour, il faut trouver la distance totale parcourue et le temps total écoulé.
La distance aller est la même que la distance retour (\( d_{aller} = d_{retour} = d \)) :
\[ \fbox{$ v_{\textit{moyenne aller-retour}} = \frac{d + d}{t_{aller} + t_{retour}} $} \]
En modifiant la formule, on remarque qu'on peut aussi la calculer en utilisant uniquement les vitesses :
\[\begin{align} v_{\textit{moyenne aller-retour}} &= \frac{d + d}{t_{aller} + t_{retour}} \\ &= \frac{2 \times d}{\frac{d}{v_{aller}} + \frac{d}{v_{retour}}} \\ &= \frac{2 \times d}{d \times (\frac{1}{v_{aller}} + \frac{1}{v_{retour}})} \\ &= \frac{2}{\frac{1}{v_{aller}} + \frac{1}{v_{retour}}} \\ &= \frac{2}{\frac{1 \times v_{retour}}{v_{aller} \times v_{retour}} + \frac{1 \times v_{aller}}{v_{aller} \times v_{retour}}} \\ &= \frac{2}{\frac{v_{aller} + v_{retour}}{v_{aller} \times v_{retour}}} \\ &= \frac{2 \times v_{aller} \times v_{retour}}{v_{aller} + v_{retour}} \\ \end{align}\]
\[ \fbox{$ v_{\textit{moyenne aller-retour}} = \frac{2 \times v_{aller} \times v_{retour}}{v_{aller} + v_{retour}} $} \]
Cas de rattrapage
Le cas de rattrapage consiste à calculer le temps nécessaire pour qu'un objet B rattrape un objet A parti avant lui.
La vitesse de B est supérieure à celle de A :
- \( v_{B} > v_{A} \)
- sinon B ne pourrait pas rattraper A
Méthode de résolution :
- Calculer : \( \text{Distance d'avance de A} \)
- Calculer : \( \text{Écart de vitesse} = v_{B} - v_{A} \)
- Calculer : \( \fbox{$ \text{Temps de rattrapage} = \frac{\text{Distance d'avance de A}}{\text{Écart de vitesse}} $} \)
Cas de croisement
Le cas de croisement consiste à calculer le temps du trajet avant croisement de deux objets A et B partant de deux endroits différents.
Cas d'un départ simultané
La distance totale est la distance entre le lieu de départ de A et le lieu de départ de B.
Méthode de résolution :
- Calculer : \( \text{Distance totale} \)
- Calculer : \( \text{Somme des vitesses} \)
- Calculer : \( \fbox{$ \text{Durée du trajet avant croisement} = \frac{\text{Distance totale}}{\text{Somme des vitesses}} $} \)
Cas d'un départ différé
La distance totale est la distance restante entre les deux objets au moment du départ du second objet.
En d'autre termes, la distance parcourue avant le départ du second objet n'est pas prise en compte.