Vitesse moyenne, temps et distance

La vitesse moyenne d'un objet en mouvement correspond à la distance que parcourt cet objet par unité de temps.

On considère qu'une vitesse moyenne est constante sur l'ensemble d'un parcours car il est difficile de connaître la vitesse à chaque instant d'un trajet.

Formules

Il y a trois formules en fonction de la variable à trouver (distance \( d \), temps \( t \) ou vitesse \( v \)) :

\[ \fbox{$ d = t \times v $} \qquad \fbox{$ v = \frac{d}{t} $} \qquad \fbox{$ t = \frac{d}{v} $} \]

Pour les retenir facilement, on peut se souvenir que la formule qui permet de trouver la distance respecte l'ordre des lettres dans l'alphabet :

\[ d = t \times v \]

À partir de là, c'est simple de retrouver :

• celle de la vitesse :

  \[\begin{align} d &= t \times v \\ \frac{d}{{\color{RubineRed}t}} &= \frac{\cancel{t} \times v}{{\color{RubineRed}\cancel{t}}} \\ v &= \frac{d}{t} \\ \end{align}\]

• celle du temps :

  \[\begin{align} d &= t \times v \\ \frac{d}{{\color{RubineRed}v}} &= \frac{t \times \cancel{v}}{{\color{RubineRed}\cancel{v}}} \\ t &= \frac{d}{v} \\ \end{align}\]

Unités et conversions

En fonction des unités de distance (m ou km) et des unités de temps (s ou h), on a une vitesse exprimée :

• soit en m/s (mètre par seconde)
• soit en km/h (kilomètre par heure)

Attention à ne pas mélanger les unités dans les formules.

Passer des km/h aux m/s

Pour passer des km/h aux m/s :

\[\begin{align} 1 km/h &= \frac{1 \thinspace km}{1 \thinspace h} \\ &= \frac{1 \times 10^3 \thinspace m}{1 \thinspace h \times 60 \thinspace min \times 60 \thinspace s} \\ &= \frac{1000 \thinspace m}{3600 \thinspace s} \\ &= \frac{1 \thinspace m}{3,6 \thinspace s} \\ \end{align}\]

À retenir :

• on multiplie par \( 3,6 \) pour passer des m/sec aux km/h
• on divise par \( 3,6 \) pour passer des km/h aux m/sec

Conversion d'une seule unité

Parfois il suffit de modifier uniquement une unité pour faciliter les calculs.

Pour les unités distances, on utilise les puissances de dix qui correspondent aux préfixes :

\[ 340 m/s = \frac{340 \thinspace m}{1 \thinspace s} = \frac{340 \times 10^{-3} \thinspace km}{1 \thinspace s} = \frac{0,34 \thinspace km}{1 \thinspace s} = 0,34 km/s \]

Les conversions des unités de temps sont différentes car dans 1 jour il y a 24 heures, dans 1 heure il y a 60 minutes, et dans 1 minute il y a 60 secondes :

Fractions d'heures

Minutes	Fraction d'heure	Heures
\( 3 \thinspace m \)	\( \frac{3}{60} = \frac{1}{20} \thinspace h \)	\( 0,05 \thinspace h \)
\( 5 \thinspace m \)	\( \frac{5}{60} = \frac{1}{12} \thinspace h \)	\( 0,083 \thinspace h \)
\( 6 \thinspace m \)	\( \frac{6}{60} = \frac{1}{10} \thinspace h \)	\( 0,1 \thinspace h \)
\( 10 \thinspace m \)	\( \frac{10}{60} = \frac{1}{6} \thinspace h \)	\( 0,16 \thinspace h \)
\( 12 \thinspace m \)	\( \frac{12}{60} = \frac{1}{5} \thinspace h \)	\( 0,2 \thinspace h \)
\( 15 \thinspace m \)	\( \frac{15}{60} = \frac{1}{4} \thinspace h \)	\( 0,25 \thinspace h \)
\( 20 \thinspace m \)	\( \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \thinspace h \)	\( 0,33 \thinspace h \)
\( 30 \thinspace m \)	\( \frac{30}{60} = \frac{1}{2} \thinspace h \)	\( 0,5 \thinspace h \)
\( 45 \thinspace m \)	\( \frac{45}{60} = \frac{3}{4} \thinspace h \)	\( 0,75 \thinspace h \)

Vitesse moyenne aller-retour

Pour calculer une vitesse moyenne aller-retour, il faut trouver la distance totale parcourue (\( d_{aller} = d_{retour} = d \)) et le temps total écoulé :

\[ \fbox{$ v_{moyenne} = \frac{d + d}{t_{aller} + t_{retour}} $} \]

En modifiant la formule, on remarque qu'on peut aussi la calculer en utilisant uniquement les vitesses :

\[\begin{align} v_{moyenne} &= \frac{d + d}{t_{aller} + t_{retour}} \\ &= \frac{2 \times d}{\frac{d}{v_{aller}} + \frac{d}{v_{retour}}} \\ &= \frac{2 \times d}{d \times (\frac{1}{v_{aller}} + \frac{1}{v_{retour}})} \\ &= \frac{2}{\frac{1}{v_{aller}} + \frac{1}{v_{retour}}} \\ &= \frac{2}{\frac{1 \times v_{retour}}{v_{aller} \times v_{retour}} + \frac{1 \times v_{aller}}{v_{aller} \times v_{retour}}} \\ &= \frac{2}{\frac{v_{aller} + v_{retour}}{v_{aller} \times v_{retour}}} \\ &= \frac{2 \times v_{aller} \times v_{retour}}{v_{aller} + v_{retour}} \\ \end{align}\]

\[ \fbox{$ v_{moyenne} = \frac{2 \times v_{aller} \times v_{retour}}{v_{aller} + v_{retour}} $} \]

Cas de rattrapage

Il s'agit de calculer le temps ou la distance nécessaire pour qu'un objet B rattrape un objet A parti avant lui.

La vitesse de B est supérieure à celle de A (\( v_{B} > v_{A} \)) sinon B ne pourrait pas rattraper A.

Méthode de résolution :

1. Calculer : \( \text{Distance d'avance de A} \)
2. Calculer : \( \text{Écart de vitesse} = v_{B} - v_{A} \)
3. Calculer : \( \fbox{$ \text{Temps de rattrapage} = \frac{\text{Distance d'avance de A}}{\text{Écart de vitesse}} $} \)

Cas de croisement

Le cas de croisement concerne deux objets A et B partant de deux endroits éloignés d'une distance \( d \).

Cas d'un départ simultané

Éléments :

• \( \text{Distance A} \) : distance entre le lieu de départ de A et le lieu du croisement
• \( \text{Distance B} \) : distance entre le lieu de départ de B et le lieu du croisement
• \( \text{Distance totale} \) : distance entre le lieu de départ de A et le lieu de départ de B

Méthode de résolution :

1. Calculer : \( \text{Distance totale} \)
2. Calculer : \( \text{Somme des vitesses} \)
3. Calculer : \( \fbox{$ \text{Durée du trajet avant croisement} = \frac{\text{Distance totale}}{\text{Somme des vitesses}} $} \)

Cas d'un départ différé

La distance entre les deux objets est la distance restante au moment du départ du second objet.

En d'autre termes, la distance parcourue avant le départ du second objet n'est pas prise en compte.