Valeur absolue
La valeur absolue d'un nombre réel est sa valeur numérique considérée sans tenir compte de son signe.
Dans la phrase "J'ai perdu 5 euros", 5 pourrait être considéré comme la valeur absolue de -5.
La valeur absolue vue comme une distance
Définition de la distance
La distance \( d \) entre deux réels \( x \) et \( y \) est la longueur entre les points d'abscisse \( x \) et d'abscisse \( y \) sur une droite numérique (l'abscisse étant la position horizontale).
Elle se note \( \fbox{$ d(x, y) $} \)
Elle est toujours positive, car on mesure l'écart entre deux points.
Elle est égale au plus grand moins le plus petit :
\[ \quad d(x, y) = x - y \quad \text{si} \quad x > y \] \[ \quad d(x, y) = y - x \quad \text{si} \quad y > x \]
Définition de la valeur absolue
La valeur absolue d'un réel \( x \) peut se comprendre comme la distance entre 0 et \( x \).
Elle se note \( |x| \) ou abs(x) en informatique : \( \fbox{$ |x| = d(0, x) = d(x, 0) $} \).
En tant que distance, la valeur absolue d'un réel est toujours positive.
D'où la définition de la valeur absolue :
\[ \fbox{$ |x| = \begin{cases} x & \text{ si $x ≥ 0 $} \\ -x & \text{ si $x < 0 $} \end{cases} $} \]
Le signe - dans la définition ci-dessus exprime l'opposé plutôt que le négatif :
\[ \fbox{$ |x| = \begin{cases} x & \text{si $x ≥ 0$} \\ opp(x) & \text{si $x < 0$} \end{cases} $} \]
L'opposé d'un nombre réel \( x \) est le nombre qui, ajouté à \( x \), donne zéro.
Par exemple :
- si \( x = 3 \), alors \( |x| = 3 \)
- si \( x = -3 \), alors \( |x| = opp(-3) = 3 \)
Une autre définition est possible en une seule ligne :
\[\fbox{$ |x| = max(opp(x), x) $} \]
Propriétés
| # | Propriété | Explication |
|---|---|---|
| 1 | \( |x| ≥ 0 \) | La valeur absolue d'un réel \( x \) est un nombre positif ou nul |
| 2 | \( \text{Si} \quad |x| = 0 \quad \text{alors} \quad x = 0 \) | Un réel \( x \) dont la valeur absolue est nulle est nul |
| 3 | \( |x| = |-x| \) | \( |x| \) et \( |-x| \) ont la même distance par rapport à \( 0 \) |
| 4 | \( \text{Si} \quad |x| = |y| \quad \text{alors} \quad x = y \quad \text{ou} \quad x = -y \) | Deux réels dont les valeurs absolues sont égales sont soit égaux soit opposés |
| 5 | \( \sqrt{x^2} = |x| \) | La racine carrée du carré d'un réel est égale à la valeur absolue de celui-ci |
Opérations
| # | Opération | Exemple |
|---|---|---|
| 1 | \( |x + y| ≤ |x| + |y| \) | \[ \left. \begin{array}{l} |-1 + 3| = |2| = 2 \\ |-1| + |3| = 1 + 3 = 4 \end{array} \right\} \quad |-1 + 3| ≤ |-1| + |3| \] |
| 2 | \( |x - y| ≥ |x| - |y| \) | \[ \left. \begin{array}{l} |3 - 5| = |-2| = 2 \\ |3| - |5| = 3 - 5 = -2 \end{array} \right\} \quad |3 - 5| ≥ |3| - |5| \] |
| 3 | \( |x - y| = |y - x| \) | \[ \left. \begin{array}{l} |1 - 3| = |-2| = 2 \\ |3 - 1| = |2| = 2 \end{array} \right\} \quad |1 - 3| = |3 - 1| \] |
| 4 | \( |x \times y| = |x| \times |y| \) | \[ \left. \begin{array}{l} |2 \times (-3)| = 6 \\ |2| \times |-3| = 6 \end{array} \right\} \quad |2 \times (-3)| = |2| \times |-3| \] |
| 5 | \( |\frac{x}{y}| = \frac{|x|}{|y|} \quad \text{si} \quad y \ne 0 \) | \[ \begin{align} |\frac{-12,3}{2}| &= \frac{|-12,3|}{|2|} \\ |-6,15| &= \frac{12,3}{2} \\ 6,15 &= 6,15 \\ \end{align} \] |
La facilité opératoire de l'addition disparait car la somme des valeurs absolues n'est pas toujours égale à la valeur absolue de la somme (idem pour la soustraction).
La troisième opération permet de faire le lien entre distance et valeur absolue de \( x \) et \( y \) :
\[ \forall x, y \in \mathbb{R} \quad \fbox{$ d(x,y) = |x - y| $} \]
Attention au signe négatif
Si le signe négatif se trouve devant le symbole de la valeur absolue, il faut d'abord trouver la valeur absolue, puis appliquer le signe :
\[ -|3| = -3 \]
Résolution d'équations
La valeur absolue permet de résoudre des équations.
Voici quelques exemples en provenance de la taverne de l'Irlandais.
Équation 1
\( |x - 3| = 5 \)
Dire que \( |x - 3| = 5 \) revient à dire que \( |x - 3| \) est situé à une distance de 5 par rapport à 0.
Or, il y a deux réels situés à une distance de 5 par rapport à 0 : 0 sont 5 et -5.
Donc :
\[ \begin{equation} \begin{split} x - 3 = 5 \\ x = 8 \end{split} \quad \text{ou} \quad \begin{split} x - 3 = -5 \\ x = -2 \end{split} \end{equation} \]
L'ensemble des solutions S est formé des réels -2 et 8 et se note :
\( S = \{ -2, 8 \} \)
Équation 2
\( |2x - 1| = -8 \)
Cette équation n'a pas de solution car d'après la propriété 1, une valeur absolue est un nombre positif ou nul.
\( S = \varnothing \)
Équation 3
\( |x - 2| = |2x + 3| \)
D'après la propriété 4 :
\[ \begin{equation} \begin{split} x - 2 &= 2x + 3 \\ x &= 2x + 5 \\ x - 2x &= 5 \\ -x &= 5 \\ x &= -5 \end{split} \quad \text{ou} \quad \begin{split} x - 2 &= -(2x + 3) \\ x - 2 &= -2x - 3 \\ x &= -2x - 1 \\ 3x &= - 1 \\ x &= \frac{-1}{3} \end{split} \end{equation} \]
\( S = \{ -5, \frac{-1}{3} \} \)
Équation 4
\( |(x - 3)(x + 2)| = 0 \)
On sait que \( |x \times y| = |x| \times |y| \), donc :
\( |x - 3| \times |x + 2| = 0 \)
Or, si un produit de facteurs est nul, alors au moins un des facteurs est nul.
Donc, soit \( |x - 3| = 0 \), soit \( |x + 2| = 0 \) et d'après la propriété 2 :
\[ \begin{equation} \begin{split} x - 3 &= 0 \\ x &= 3 \end{split} \quad \text{ou} \quad \begin{split} x + 2 &= 0 \\ x &= -2 \end{split} \end{equation} \]
\( S = \{ -2, 3 \} \)
Équation 5
\( \sqrt{(3x-4)^2} = 3 \)
D'après la propriété 5 : \( \sqrt{(3x-4)^2} = |3x - 4| \)
Donc :
\[ \begin{equation} \begin{split} 3x - 4 &= 3 \\ 3x &= 7 \\ x &= \frac{7}{3} \end{split} \quad \text{ou} \quad \begin{split} 3x - 4 &= -3 \\ 3x &= 1 \\ x &= \frac{1}{3} \end{split} \end{equation} \]
\( S = \{ \frac{1}{3}, \frac{7}{3} \} \)
Équation 6
\( |2x + 3| + |(x - 7)(2x + 3)| = 0 \)
La première façon de résoudre cette équation et de factoriser :
\( |2x + 3|(1 + |x - 7|) = 0 \)
Or, si un produit de facteurs est nul, alors au moins un des facteurs est nul.
Donc, soit \( |2x + 3| = 0 \), soit \( 1 + |x - 7| = 0 \) :
\[ \begin{equation} \begin{split} 2x + 3 &= 0 \\ x &= -\frac{3}{2} \end{split} \quad \text{ou} \quad \begin{split} 1 + |x - 7| &= 0 \\ |x - 7| &= -1 \end{split} \end{equation} \]
\( |x - 7| = -1 \) n'est pas possible d'après la propriété 1.
\( S = \{ -\frac{3}{2} \} \)
La seconde façon de résoudre cette équation est de considérer que les deux termes de l'addition doivent être nuls pour obtenir 0 : \( |2x + 3| = 0 \) et \( |(x - 7)(2x + 3)| = 0 \).
Joint