Pourcentages

Un pourcentage est une proportion pour cent.

Proportion

Une proportion est la mesure de la grandeur d'une partie en relation avec le tout :

\[ \fbox{$ \text{Proportion} = \frac{\text{Partie}}{\text{Total}} $} \]

Par exemple \( \frac{30}{120} = 0,25 \).

Elle peut s'écrire sous la forme :

1. d'un nombre décimal positif compris entre 0 et 1
   • car numérateur (partie) ≤ dénominateur (tout)
2. d'une fraction irréductible
3. d'un pourcentage

Situation de proportionnalité

Il y a situation de proportionnalité quand plusieurs fractions sont égales :

\( \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8} = \frac{10}{20} = \frac{50}{100} \)

On dit qu'il y a proportionnalité entre les numérateurs et les dénominateurs de chaque fraction car il existe un même coefficient entre eux :

\[ \fbox{$ \frac{1}{2} = \frac{1 \times a}{2 \times a} $} \]

Définition d'un coefficient :

Nombre par lequel est multipliée une grandeur dans une formule mathématique.

Tableau de proportionnalité

Un tableau de proportionnalité sert à résumer les situations de proportionnalité :

Temps (h)	4	6	10	50
Distance (km)	8	12	20	100

Compléter un tableau de proportionnalité

Les quatre méthodes ci-dessous composent la règle de trois qui permet de résoudre des problèmes de recherche de quatrième proportionnelle :

• dans une situation de proportionnalité
• si trois valeurs sont connues
• alors il est possible de calculer la quatrième

1. Coefficient de proportionnalité

Dans chaque colonne du tableau, on peut passer d'une ligne à l'autre en effectuant une multiplication par un nombre appelé coefficient de proportionnalité :

• il se calcule :
  • en effectuant le quotient du numérateur et du dénominateur
  • ou l'inverse (il y a 2 coefficients)
• c'est un rapport constant entre des grandeurs proportionnelles

On cherche :

• soit par quel nombre on multiplie 4 pour obtenir 8 :
  • \( 4 \times x = 8 \Leftrightarrow x = \frac{8}{4} = 2 \)
• soit par quel nombre on multiplie 8 pour obtenir 4 :
  • \( 8 \times x = 4 \Leftrightarrow x = \frac{4}{8} = 0,5 \)

2. Passage à l'unité

Le passage à l'unité consiste à trouver la valeur correspondant à \( 1 \) dans une ligne du tableau, le reste en découle.

Par exemple, si on parcourt 8 kilomètres en 4 heures, on cherche combien de kilomètres on parcourt en 1 heure :

• \( 4 \text{h} \div 4 = 1 \text{h} \)
• \( 8 \text{km} \div 4 = 2 \text{km} \)

3. Propriétés du tableau de proportionnalité

Dans un tableau de proportionnalité, on peut :

• multiplier ou diviser une colonne par un nombre
• ajouter ou soustraire des colonnes entre elles

4. Produit en croix

Temps (h)	4	𝒙
Distance (km)	8	100

\( \frac{4}{8} = \frac{x}{100} \Leftrightarrow 4 \times 100 = x \times 8 \Leftrightarrow x = \frac{4 \times 100}{8} = 50 \)

Pourcentage

Un pourcentage est une manière d'exprimer une proportion en la comparant à un tout de cent parts.

Calculer un pourcentage à partir d'une proportion

Pour calculer un pourcentage :

• on prend la proportion exprimée sous forme d'un nombre décimal (c'est-à-dire le quotient de la fraction)
• qu'on multiplie par 100
• afin de trouver une fraction équivalente dont le dénominateur est 100

Par exemple :

• sur 55 personnes
• 22 sont des femmes
• quel est le pourcentage de femmes ?
• \( \frac{22}{55} = 0,4 \Leftrightarrow \frac{0,4 \times 100}{1 \times 100} = \frac{40}{100} \Leftrightarrow 40 \thinspace \% \)

Le dénominateur est remplacé par le symbole % qui se lit "pour cent".

Calculer un pourcentage à partir d'un tableau de proportionnalité

Un calcul de pourcentage peut se faire avec un tableau de proportionnalité :

Nombre de femmes	22	\( x \)
Total	55	100

• avec le coefficient de proportionnalité :

  1. trouver le coefficient de proportionnalité : \( \frac{55}{22} = 2,5 \)
  2. utiliser le coefficient de proportionnalité : \( \frac{100}{2,5} = 40 \thinspace \% \)

• ou avec le produit en croix :

  • \( \frac{22 \times 100}{55} = 40 \thinspace \% \)

Écrire sous forme de pourcentages

• \( 0,6 = 60 \thinspace \% \)
• \( \frac{1}{4} = 25 \thinspace \% \)
• \( 0,035 = 3,5 \thinspace \% \)

Principales correspondances

Un pourcentage est l'expression d'une fraction ou d'un nombre décimal :

Pourcentage	Fraction	Nombre décimal
\( 1 \thinspace \% \)	\( \frac{1}{100} \)	\( 0,01 \)
\( 2 \thinspace \% \)	\( \frac{2}{100} \)	\( 0,02 \)
\( 4 \thinspace \% \)	\( \frac{1}{25} \)	\( 0,04 \)
\( 5 \thinspace \% \)	\( \frac{1}{20} \)	\( 0,05 \)
\( 10 \thinspace \% \)	\( \frac{1}{10} \)	\( 0,1 \)
\( 12,5 \thinspace \% \)	\( \frac{1}{8} \)	\( 0,125 \)
\( 16,66 \thinspace \% \)	\( \simeq \frac{16,66}{100} \simeq \frac{1 \times 16,66}{6 \times 16,66} \simeq \frac{1}{6} \)	\( \simeq 0,166 \)
\( 20 \thinspace \% \)	\( \frac{1}{5} \)	\( 0,2 \)
\( 25 \thinspace \% \)	\( \frac{1}{4} \)	\( 0,25 \)
\( 33,33 \thinspace \% \)	\( \simeq \frac{33,33}{100} \simeq \frac{1 \times 33,33}{3 \times 33,33} \simeq \frac{1}{3} \)	\( \simeq 0,333 \)
\( 40 \thinspace \% \)	\( \frac{2}{5} \)	\( 0,4 \)
\( 50 \thinspace \% \)	\( \frac{1}{2} \)	\( 0,5 \)
\( 60 \thinspace \% \)	\( \frac{3}{5} \)	\( 0,6 \)
\( 66,66 \thinspace \% \)	\( \simeq \frac{66,66}{100} \simeq \frac{2 \times 33,33}{3 \times 33,33} \simeq \frac{2}{3} \)	\( \simeq 0,66 \)
\( 70 \thinspace \% \)	\( \frac{7}{10} \)	\( 0,7 \)
\( 75 \thinspace \% \)	\( \frac{3}{4} \)	\( 0,75 \)
\( 80 \thinspace \% \)	\( \frac{4}{5} \)	\( 0,8 \)
\( 100 \thinspace \% \)		\( 1 \)
\( 200 \thinspace \% \)		\( 2 \)
\( 1000 \thinspace \% \)		\( 10 \)

Pourcentage d'une quantité

Prendre \( n \thinspace \% \) d'une quantité, c'est multiplier cette quantité par \( \frac{n}{100} \) (voir la partie fraction opérateur).

Par exemple, si un pull coûte 75 €, prendre 20 % (le montant de TVA) du prix revient à multiplier 75 par \( \frac{20}{100} \).

Évolution

Quantité après évolution

Une quantité \( x \) augmentée de \( n \thinspace \% \) est égale à la quantité \( x \) plus l'augmentation \( x \times \frac{n}{100} \) :

• soit \( x + (x \times \frac{n}{100}) \)
• qui se factorise en \( x(1 + \frac{n}{100}) \)

De là :

• augmenter une quantité de \( n \thinspace \% \) revient à la multiplier par \( (1 + \frac{n}{100}) \)
• diminuer une quantité de \( n \thinspace \% \) revient à la multiplier par \( (1 - \frac{n}{100}) \)

\[ \fbox{$ \text{Nouvelle quantité} = \text{Ancienne quantité} \times (1 \pm \text{évolution en %}) $} \]

Exemples :

• augmenter du quart revient :
  • à augmenter de 25 %
  • ou à multiplier par 1,25
• diminuer du cinquième revient :
  • à baisser de 20 %
  • ou à multiplier par 0,8

Dans le cas d'une évolution, un pourcentage peut être supérieur à 100 % :

• l'écriture décimale sera supérieure à 1
• l'écriture fractionnaire sera irrégulière

Quantité avant évolution

Pour la trouver, il suffit de modifier la formule précédente :

\[ \fbox{$ \text{Ancienne quantité} = \frac{\text{Nouvelle quantité}}{1 \pm \text{évolution en %}} $} \]

Après 20 % d'augmentation, le prix est de 186 €. Quel était le prix avant augmentation ?

\[ \frac{186}{1 + 20 \thinspace \%} = 155 \]

Pourcentage d'évolution

Taux d'évolution

Un taux (ou pourcentage) d'évolution permet de quantifier l'évolution d'une grandeur numérique.

Il y a trois étapes pour le calculer :

1. déterminer la variation absolue (ou écart absolu)
   • c'est un écart (positif ou négatif) entre deux valeurs observées à des dates différentes :
   • \( \fbox{$ \text{Variation absolue} = \text{Valeur finale - Valeur initiale} $} \)
2. s'en servir pour calculer la proportion par rapport à la valeur de départ
3. en déduire le pourcentage (ou taux d'évolution)

D'où la formule du taux d'évolution :

• \( \text{Taux évolution en %} = \frac{\text{Variation absolue}}{\text{Valeur initiale}} \times 100 \)
• ou \( \fbox{$ \text{Taux évolution en %} = \frac{\text{Valeur finale - Valeur initiale}}{\text{Valeur initiale}} \times 100 $} \)

Un produit passant de 64 à 72 euros subit une hausse de 12,5 % :

\[ \frac{72 - 64}{64} \times 100 = 12,5 \thinspace \% \]

Taux d'évolution réciproque

L'évolution réciproque possède un coefficient multiplicateur inverse de l'évolution directe.

Par exemple, \( -20 \thinspace \% \) est l'évolution réciproque de \( +25 \thinspace \% \) :

Calcul d'une succession de taux d'évolutions

Les pourcentages ne s'additionnent pas car ils ne portent pas sur la même valeur.

Ils se multiplient entre eux :

\[ \fbox{$ \text{Pourcentage} = \text{Pourcentage 1} \times \text{Pourcentage 2} \times … $} \]

Le coefficient multiplicateur global de plusieurs évolutions est égal aux produits des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.

Exemple :

• si le prix du litre de lait :
  • a augmenté de 10 % en 2021
  • baissé de 8 % en 2022
  • puis augmenté de 20 % en 2023
• alors l'évolution depuis 2021 est :
  • \( 10 \thinspace \% \times (-8 \thinspace \%) \times 20 \thinspace \% = 21,4 \thinspace \% \)

Quelques raccourcis

• Doubler (fois 2) revient à ajouter 100 %
• Tripler (fois 3) revient à ajouter 200 %
• Quadrupler (fois 4) revient à ajouter 300 %
• Décupler (fois 10) revient à ajouter 900 %
• Augmenter du cinquième revient à ajouter 20 % ou à multiplier par 1,2
• Diminuer du cinquième revient à baisser de 20 % ou à multiplier par 0,8
• Augmenter du tiers revient à ajouter 33,33 % ou à multiplier par 1,33
• Diminuer du tiers revient à baisser de 33,33 % ou à multiplier par 0,66