Pourcentages

Une proportion est un rapport de grandeur entre une des parties et le tout :

\( \frac{30}{120} = 0,25 \)

Un pourcentage est une manière d'exprimer une proportion en la comparant à un tout de cent parts :

\( \frac{30}{120} = 0,25 = \frac{0,25 \times 100}{1 \times 100} = \frac{25}{100} = 25 \thinspace \% \)

Proportion

La proportion d'un effectif partiel par rapport à un effectif total est le nombre :

\[ \fbox{$ \text{Proportion effectif partiel} = \frac{\text{Effectif partiel}}{\text{Effectif total}} $} \]

Une proportion peut s'écrire sous la forme :

Situation de proportionnalité

Il y a situation de proportionnalité quand plusieurs fractions sont égales :

\( \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8} = \frac{10}{20} = \frac{50}{100} \)

On dit qu'il y a proportionnalité entre les numérateurs et les dénominateurs de chaque fraction car il existe un même coefficient multiplicateur entre eux :

\[ \fbox{$ \frac{1}{2} = \frac{1 \times a}{2 \times a} $} \]

Le coefficient multiplicateur se calcule en effectuant le quotient du numérateur et du dénominateur, ou l'inverse (il y a 2 coefficients).

Tableau de proportionnalité

Un tableau de proportionnalité sert à résumer les situations de proportionnalité :

Temps (h) 4 6 10 50
Distance (km) 8 12 20 100

Compléter un tableau de proportionnalité

Les quatre méthodes ci-dessous composent "la règle de trois" qui permet de résoudre des problèmes de recherche de quatrième proportionnelle.

Avec le coefficient de proportionnalité

On cherche :

Par passage à l'unité

Si on parcourt 8 kilomètres en 4 heures :

Avec les propriétés du tableau de proportionnalité

Dans un tableau de proportionnalité, on peut :

Avec le produit en croix

Temps (h) 4 𝒙
Distance (km) 8 100

\( \frac{4}{8} = \frac{x}{100} \Leftrightarrow 4 \times 100 = x \times 8 \Leftrightarrow x = \frac{4 \times 100}{8} = 50 \)

Calculer un pourcentage

Le pourcentage est la proportion pour cent.

À partir d'une proportion

Pour calculer un pourcentage, on prend la proportion qu'on multiplie par 100 afin de trouver une fraction équivalente dont le dénominateur est 100.

Par exemple, sur 55 personnes, 22 sont des femmes. Quel est le pourcentage de femmes ?

\( \frac{22}{55} = 0,4 \Leftrightarrow \frac{0,4 \times 100}{1 \times 100} = \frac{40}{100} \Leftrightarrow 40 \thinspace \% \)

Le dénominateur est remplacé par le symbole % qui se lit "pour cent".

À partir d'un tableau de proportionnalité

Un calcul de pourcentage peut se faire avec un tableau de proportionnalité :

Nombre de femmes 22 \( x \)
Total 55 100

Avec le coefficient de proportionnalité

  1. trouver le coefficient de proportionnalité (ou la valeur de l'unité) : \( \frac{55}{22} = 2,5 \)
  2. multiplier (ou diviser) par le coefficient de proportionnalité : \( \frac{100}{2,5} = 40 \thinspace \% \)

Avec le produit en croix

Le produit en croix permet d'automatiser le calcul pour trouver la quatrième proportionnelle :

\( \frac{22 \times 100}{55} = 40 \thinspace \% \).

Écrire sous forme de pourcentages

Principales correspondances

Un pourcentage est l'expression d'une fraction ou d'un nombre décimal sous une autre forme.

Pourcentage Fraction Nombre décimal
\( 1 \thinspace \% \) \( \frac{1}{100} \) \( 0,01 \)
\( 2 \thinspace \% \) \( \frac{2}{100} \) \( 0,02 \)
\( 4 \thinspace \% \) \( \frac{1}{25} \) \( 0,04 \)
\( 5 \thinspace \% \) \( \frac{1}{20} \) \( 0,05 \)
\( 10 \thinspace \% \) \( \frac{1}{10} \) \( 0,1 \)
\( 12,5 \thinspace \% \) \( \frac{1}{8} \) \( 0,125 \)
\( 16,66 \thinspace \% \) \( \simeq \frac{16,66}{100} \simeq \frac{1 \times 16,66}{6 \times 16,66} \simeq \frac{1}{6} \) \( \simeq 0,166 \)
\( 20 \thinspace \% \) \( \frac{1}{5} \) \( 0,2 \)
\( 25 \thinspace \% \) \( \frac{1}{4} \) \( 0,25 \)
\( 33,33 \thinspace \% \) \( \simeq \frac{33,33}{100} \simeq \frac{1 \times 33,33}{3 \times 33,33} \simeq \frac{1}{3} \) \( \simeq 0,333 \)
\( 40 \thinspace \% \) \( \frac{2}{5} \) \( 0,4 \)
\( 50 \thinspace \% \) \( \frac{1}{2} \) \( 0,5 \)
\( 60 \thinspace \% \) \( \frac{3}{5} \) \( 0,6 \)
\( 66,66 \thinspace \% \) \( \simeq \frac{66,66}{100} \simeq \frac{2 \times 33,33}{3 \times 33,33} \simeq \frac{2}{3} \) \( \simeq 0,66 \)
\( 70 \thinspace \% \) \( \frac{7}{10} \) \( 0,7 \)
\( 75 \thinspace \% \) \( \frac{3}{4} \) \( 0,75 \)
\( 80 \thinspace \% \) \( \frac{4}{5} \) \( 0,8 \)
\( 100 \thinspace \% \)   \( 1 \)
\( 200 \thinspace \% \)   \( 2 \)
\( 1000 \thinspace \% \)   \( 10 \)

Pourcentage d'une quantité

Prendre \( n \thinspace \% \) d'une quantité, c'est multiplier cette quantité par \( \frac{n}{100} \).

Évolution et coefficient multiplicateur

Quand une quantité \( x \) est augmentée de \( n \thinspace \% \), l'augmentation s'élève à \( x \times \frac{n}{100} \).

On a donc la quantité plus l'augmentation, soit \( x + (x \times \frac{n}{100}) \) qui se factorise en \( x(1 + \frac{n}{100}) \) :

\[ \fbox{$ \text{Nouvelle quantité} = \text{Ancienne quantité} \times (1 \pm \text{évolution en %}) $} \]

\( (1 + \frac{n}{100}) \) et \( (1 - \frac{n}{100}) \) sont appelés les coefficients multiplicateurs.

Exemples :

Dans le cas d'une évolution, un pourcentage peut être supérieur à 100 % : l'écriture décimale sera supérieure à 1 et l'écriture fractionnaire sera irrégulière.

Quantité avant évolution

Pour la trouver, il suffit de modifier la formule précédente :

\[ \fbox{$ \text{Ancienne quantité} = \frac{\text{Nouvelle quantité}}{1 \pm \text{évolution en %}} $} \]

Après 20 % d'augmentation, le prix est de 720 €. Quel était le prix avant augmentation ?

\[ \frac{720}{1 + 20 \thinspace \%} = 600 \]

Taux d'évolution

Un taux d'évolution permet de quantifier l'évolution d'une grandeur numérique.

Il y a trois étapes pour le calculer :

  1. déterminer un écart (positif ou négatif) entre deux valeurs (la variation absolue)
  2. s'en servir pour calculer la proportion par rapport à la valeur de départ
  3. en déduire un pourcentage (le taux d'évolution)

La variation absolue (ou écart absolu) est la différence entre les valeurs d'un phénomène observé à des dates différentes :

\[ \fbox{$ \text{Variation absolue} = \text{Valeur finale - Valeur initiale} $} \]

Le taux d'évolution (ou variation relative) d'une grandeur est :

\[ \text{Taux évolution en %} = \frac{\text{Variation absolue}}{\text{Valeur initiale}} \times 100 \]

Donc :

\[ \fbox{$ \text{Taux évolution en %} = \frac{\text{Valeur finale - Valeur initiale}}{\text{Valeur initiale}} \times 100 $} \]

Un produit passant de 64 à 72 euros subit une hausse de 12,5 % :

\[ \frac{72 - 64}{64} \times 100 = 12,5 \thinspace \% \]

Taux d'évolution réciproque

L'évolution réciproque possède un coefficient multiplicateur inverse de l'évolution directe.

Par exemple, \( -20 \thinspace \% \) est l'évolution réciproque de \( +25 \thinspace \% \) :

Évolution successives

Les pourcentages ne s'additionnent pas car ils ne portent pas sur la même valeur.

Ils se multiplient entre eux :

\[ \fbox{$ \text{Pourcentage} = \text{Pourcentage 1} \times \text{Pourcentage 2} \times … $} \]

Le coefficient multiplicateur global de plusieurs évolutions est égal aux produits des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.

Quelques raccourcis

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