Pourcentages

Un pourcentage est une proportion pour cent.

Proportion

Une proportion est la mesure de la grandeur d'une partie en relation avec le tout.

$ \frac{30}{120} = 0,25 $

Une proportion peut s'écrire sous la forme :

d'un nombre décimal positif compris entre 0 et 1
- car numérateur (partie) ≤ dénominateur (tout)
d'une fraction irréductible
d'un pourcentage

Calculer une proportion

La proportion d'un effectif partiel par rapport à un effectif total est le nombre :

\[ \fbox{$ \text{Proportion effectif partiel} = \frac{\text{Effectif partiel}}{\text{Effectif total}} $} \]

Situation de proportionnalité

Il y a situation de proportionnalité quand plusieurs fractions sont égales :

$ \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8} = \frac{10}{20} = \frac{50}{100} $

On dit qu'il y a proportionnalité entre les numérateurs et les dénominateurs de chaque fraction car il existe un même coefficient entre eux :

\[ \fbox{$ \frac{1}{2} = \frac{1 \times a}{2 \times a} $} \]

Définition de coefficient :

Nombre par lequel est multipliée une grandeur dans une formule mathématique.

Tableau de proportionnalité

Un tableau de proportionnalité sert à résumer les situations de proportionnalité :

Temps (h)	4	6	10	50
Distance (km)	8	12	20	100

Compléter un tableau de proportionnalité

Les quatre méthodes ci-dessous composent "la règle de trois".

Elle permet de résoudre des problèmes de recherche de quatrième proportionnelle : si trois valeurs sont connues dans une situation de proportionnalité, alors il est possible de calculer la quatrième.

1. Avec le coefficient de proportionnalité

Dans chaque colonne du tableau, on peut passer d'une ligne à l'autre en effectuant une multiplication.

Le nombre utilisé pour passer d'une ligne à l'autre, autrement dit le nombre qui relie deux grandeurs proportionnelles, est appelée coefficient de proportionnalité.

Il se calcule en effectuant le quotient du numérateur et du dénominateur, ou l'inverse (il y a 2 coefficients).

On cherche :

soit par quel nombre on multiplie 4 pour obtenir 8 :
- $ 4 \times x = 8 \Leftrightarrow x = \frac{8}{4} = 2 $
soit par quel nombre on multiplie 8 pour obtenir 4 :
- $ 8 \times x = 4 \Leftrightarrow x = \frac{4}{8} = 0,5 $

2. Avec passage à l'unité

Le passage à l'unité consiste à trouver la valeur correspondant à $ 1 $ dans une ligne du tableau, le reste en découle.

Par exemple, si on parcourt 8 kilomètres en 4 heures, on cherche combien de kilomètres on parcourt en 1 heure :

$ 4 \text{h} \div 4 = 1 \text{h} $
$ 8 \text{km} \div 4 = 2 \text{km} $

3. Avec les propriétés du tableau de proportionnalité

Dans un tableau de proportionnalité, on peut :

multiplier ou diviser une colonne par un nombre
ajouter ou soustraire des colonnes entre elles

4. Avec le produit en croix

Temps (h)	4	𝒙
Distance (km)	8	100

$ \frac{4}{8} = \frac{x}{100} \Leftrightarrow 4 \times 100 = x \times 8 \Leftrightarrow x = \frac{4 \times 100}{8} = 50 $

Pourcentage

Un pourcentage est une manière d'exprimer une proportion en la comparant à un tout de cent parts.

Calculer un pourcentage

À partir d'une proportion

Pour calculer un pourcentage, on prend la proportion qu'on multiplie par 100 afin de trouver une fraction équivalente dont le dénominateur est 100.

Par exemple, sur 55 personnes, 22 sont des femmes. Quel est le pourcentage de femmes ?

$ \frac{22}{55} = 0,4 \Leftrightarrow \frac{0,4 \times 100}{1 \times 100} = \frac{40}{100} \Leftrightarrow 40 \thinspace \% $

Le dénominateur est remplacé par le symbole % qui se lit "pour cent".

À partir d'un tableau de proportionnalité

Un calcul de pourcentage peut se faire avec un tableau de proportionnalité :

Nombre de femmes	22	$ x $
Total	55	100

avec le coefficient de proportionnalité :
1. trouver le coefficient de proportionnalité : $ \frac{55}{22} = 2,5 $
2. utiliser le coefficient de proportionnalité : $ \frac{100}{2,5} = 40 \thinspace \% $
ou avec le produit en croix :
- $ \frac{22 \times 100}{55} = 40 \thinspace \% $

Écrire sous forme de pourcentages

$ 0,6 = 60 \thinspace \% $
$ \frac{1}{4} = 25 \thinspace \% $
$ 0,035 = 3,5 \thinspace \% $

Principales correspondances

Un pourcentage est l'expression d'une fraction ou d'un nombre décimal :

Pourcentage	Fraction	Nombre décimal
$ 1 \thinspace \% $	$ \frac{1}{100} $	$ 0,01 $
$ 2 \thinspace \% $	$ \frac{2}{100} $	$ 0,02 $
$ 4 \thinspace \% $	$ \frac{1}{25} $	$ 0,04 $
$ 5 \thinspace \% $	$ \frac{1}{20} $	$ 0,05 $
$ 10 \thinspace \% $	$ \frac{1}{10} $	$ 0,1 $
$ 12,5 \thinspace \% $	$ \frac{1}{8} $	$ 0,125 $
$ 16,66 \thinspace \% $	$ \simeq \frac{16,66}{100} \simeq \frac{1 \times 16,66}{6 \times 16,66} \simeq \frac{1}{6} $	$ \simeq 0,166 $
$ 20 \thinspace \% $	$ \frac{1}{5} $	$ 0,2 $
$ 25 \thinspace \% $	$ \frac{1}{4} $	$ 0,25 $
$ 33,33 \thinspace \% $	$ \simeq \frac{33,33}{100} \simeq \frac{1 \times 33,33}{3 \times 33,33} \simeq \frac{1}{3} $	$ \simeq 0,333 $
$ 40 \thinspace \% $	$ \frac{2}{5} $	$ 0,4 $
$ 50 \thinspace \% $	$ \frac{1}{2} $	$ 0,5 $
$ 60 \thinspace \% $	$ \frac{3}{5} $	$ 0,6 $
$ 66,66 \thinspace \% $	$ \simeq \frac{66,66}{100} \simeq \frac{2 \times 33,33}{3 \times 33,33} \simeq \frac{2}{3} $	$ \simeq 0,66 $
$ 70 \thinspace \% $	$ \frac{7}{10} $	$ 0,7 $
$ 75 \thinspace \% $	$ \frac{3}{4} $	$ 0,75 $
$ 80 \thinspace \% $	$ \frac{4}{5} $	$ 0,8 $
$ 100 \thinspace \% $		$ 1 $
$ 200 \thinspace \% $		$ 2 $
$ 1000 \thinspace \% $		$ 10 $

Pourcentage d'une quantité

Prendre $ n \thinspace \% $ d'une quantité, c'est multiplier cette quantité par $ \frac{n}{100} $ (voir la partie fraction opérateur).

Par exemple, si un pull coûte 75 €, prendre 20 % (le montant de TVA) du prix revient à multiplier 75 par $ \frac{20}{100} $.

Évolution et coefficient multiplicateur

Une quantité $ x $ augmentée de $ n \thinspace \% $ est égale à la quantité $ x $ plus l'augmentation $ x \times \frac{n}{100} $ :

soit $ x + (x \times \frac{n}{100}) $
qui se factorise en $ x(1 + \frac{n}{100}) $

Donc :

augmenter une quantité de $ n \thinspace \% $ revient à la multiplier par $ (1 + \frac{n}{100}) $
diminuer une quantité de $ n \thinspace \% $ revient à la multiplier par $ (1 - \frac{n}{100}) $

\[ \fbox{$ \text{Nouvelle quantité} = \text{Ancienne quantité} \times (1 \pm \text{évolution en %}) $} \]

Quand on fait varier une quantité d'un certain pourcentage, le nombre par lequel on multiplie la quantité est appelé coefficient multiplicateur. Ce nombre sert à multiplier une quantité de base pour obtenir une nouvelle quantité.

Ici, $ (1 + \frac{n}{100}) $ et $ (1 - \frac{n}{100}) $ sont les coefficients multiplicateurs.

Exemples :

augmenter du quart revient :
- à augmenter de 25 %
- ou à multiplier par 1,25
diminuer du cinquième revient :
- à baisser de 20 %
- ou à multiplier par 0,8

Dans le cas d'une évolution, un pourcentage peut être supérieur à 100 % (l'écriture décimale sera supérieure à 1 et l'écriture fractionnaire sera irrégulière).

Quantité avant évolution

Pour la trouver, il suffit de modifier la formule précédente :

\[ \fbox{$ \text{Ancienne quantité} = \frac{\text{Nouvelle quantité}}{1 \pm \text{évolution en %}} $} \]

Après 20 % d'augmentation, le prix est de 186 €. Quel était le prix avant augmentation ?

\[ \frac{186}{1 + 20 \thinspace \%} = 155 \]

Taux d'évolution

Un taux d'évolution permet de quantifier l'évolution d'une grandeur numérique.

Il y a trois étapes pour le calculer :

déterminer un écart (positif ou négatif) entre deux valeurs (la variation absolue)
s'en servir pour calculer la proportion par rapport à la valeur de départ
en déduire un pourcentage (le taux d'évolution)

La variation absolue (ou écart absolu) est la différence entre les valeurs d'un phénomène observé à des dates différentes :

\[ \fbox{$ \text{Variation absolue} = \text{Valeur finale - Valeur initiale} $} \]

Le taux d'évolution (ou variation relative) d'une grandeur est :

\[ \text{Taux évolution en %} = \frac{\text{Variation absolue}}{\text{Valeur initiale}} \times 100 \]

Donc :

\[ \fbox{$ \text{Taux évolution en %} = \frac{\text{Valeur finale - Valeur initiale}}{\text{Valeur initiale}} \times 100 $} \]

Un produit passant de 64 à 72 euros subit une hausse de 12,5 % :

\[ \frac{72 - 64}{64} \times 100 = 12,5 \thinspace \% \]

Taux d'évolution réciproque

L'évolution réciproque possède un coefficient multiplicateur inverse de l'évolution directe (voir inverse multiplicatif).

Par exemple, $ -20 \thinspace \% $ est l'évolution réciproque de $ +25 \thinspace \% $ :

Évolution successives

Les pourcentages ne s'additionnent pas car ils ne portent pas sur la même valeur.

Ils se multiplient entre eux :

\[ \fbox{$ \text{Pourcentage} = \text{Pourcentage 1} \times \text{Pourcentage 2} \times … $} \]

Le coefficient multiplicateur global de plusieurs évolutions est égal aux produits des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.

Quelques raccourcis

Doubler (fois 2) revient à ajouter 100 %
Tripler (fois 3) revient à ajouter 200 %
Quadrupler (fois 4) revient à ajouter 300 %
Décupler (fois 10) revient à ajouter 900 %
Augmenter du cinquième revient à ajouter 20 % ou à multiplier par 1,2
Diminuer du cinquième revient à baisser de 20 % ou à multiplier par 0,8
Augmenter du tiers revient à ajouter 33,33 % ou à multiplier par 1,33
Diminuer du tiers revient à baisser de 33,33 % ou à multiplier par 0,66

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Pourcentage	Fraction	Nombre décimal
\( 1 \thinspace \% \)	\( \frac{1}{100} \)	\( 0,01 \)
\( 2 \thinspace \% \)	\( \frac{2}{100} \)	\( 0,02 \)
\( 4 \thinspace \% \)	\( \frac{1}{25} \)	\( 0,04 \)
\( 5 \thinspace \% \)	\( \frac{1}{20} \)	\( 0,05 \)
\( 10 \thinspace \% \)	\( \frac{1}{10} \)	\( 0,1 \)
\( 12,5 \thinspace \% \)	\( \frac{1}{8} \)	\( 0,125 \)
\( 16,66 \thinspace \% \)	\( \simeq \frac{16,66}{100} \simeq \frac{1 \times 16,66}{6 \times 16,66} \simeq \frac{1}{6} \)	\( \simeq 0,166 \)
\( 20 \thinspace \% \)	\( \frac{1}{5} \)	\( 0,2 \)
\( 25 \thinspace \% \)	\( \frac{1}{4} \)	\( 0,25 \)
\( 33,33 \thinspace \% \)	\( \simeq \frac{33,33}{100} \simeq \frac{1 \times 33,33}{3 \times 33,33} \simeq \frac{1}{3} \)	\( \simeq 0,333 \)
\( 40 \thinspace \% \)	\( \frac{2}{5} \)	\( 0,4 \)
\( 50 \thinspace \% \)	\( \frac{1}{2} \)	\( 0,5 \)
\( 60 \thinspace \% \)	\( \frac{3}{5} \)	\( 0,6 \)
\( 66,66 \thinspace \% \)	\( \simeq \frac{66,66}{100} \simeq \frac{2 \times 33,33}{3 \times 33,33} \simeq \frac{2}{3} \)	\( \simeq 0,66 \)
\( 70 \thinspace \% \)	\( \frac{7}{10} \)	\( 0,7 \)
\( 75 \thinspace \% \)	\( \frac{3}{4} \)	\( 0,75 \)
\( 80 \thinspace \% \)	\( \frac{4}{5} \)	\( 0,8 \)
\( 100 \thinspace \% \)		\( 1 \)
\( 200 \thinspace \% \)		\( 2 \)
\( 1000 \thinspace \% \)		\( 10 \)